14 Construa a tabela de \log (\mathrm{x}), usando 6 pontos igualmente espaçados, de tal forma que \mathrm{x}_{0}=2 e \mathrm{x}_{5}=3. Determine o valor aproximado de x tal que \log (\mathrm{x})=0,45.

Passo 1

O enunciado pede que eu construa uma tabela de \log(\mathrm{x}) usando 6 pontos igualmente espaçados com \mathrm{x}_{0}=2 e \mathrm{x}_{5}=3, e em seguida que eu determine o valor aproximado de \mathrm{x} tal que \log(\mathrm{x})=0,45. Vou assumir que \log significa o logaritmo decimal (base 10), pois o valor 0,45 corresponde sensatamente a um número entre 2 e 3 nesse caso. Informações dadas e pedidos:
\mathrm{x}_{0}=2 e \mathrm{x}_{5}=3.
Deseja-se: (a) tabela com 6 pontos igualmente espaçados \mathrm{x}_{0},\dots,\mathrm{x}_{5} e os correspondentes \log(\mathrm{x}_{i}); (b) aproximar \mathrm{x} tal que \log(\mathrm{x})=0,45.

Passo 2

Calculo a distância entre pontos (passo) \,h.
h=\frac{\mathrm{x}_{5}-\mathrm{x}_{0}}{5}=\frac{3-2}{5}=0,2.
Logo os pontos são
\mathrm{x}_{i}=2+i\cdot 0,2\quad\text{para }i=0,1,2,3,4,5,
ou seja
\mathrm{x}_{0}=2,0,\\ \mathrm{x}_{1}=2,2,\\ \mathrm{x}_{2}=2,4,\\ \mathrm{x}_{3}=2,6,\\ \mathrm{x}_{4}=2,8,\\ \mathrm{x}_{5}=3,0.

Passo 3

Agora calculo \log_{10}(\mathrm{x}_{i}) para cada ponto da tabela. Esses valores normalmente obtém-se com uma calculadora ou tabela de logaritmos; aqui apresento valores arredondados com precisão razoável (6 casas decimais) que usarei na interpolação:
\log(2,0)=0,301030
\log(2,2)=0,342423
\log(2,4)=0,380211
\log(2,6)=0,414973
\log(2,8)=0,447158
\log(3,0)=0,477121
(Explanação didática rápida: \log_{10}(x) é a potência à qual 10 deve ser elevado para dar x. Para valores não inteiros usamos calculadora ou tabelas; para estimativas podemos usar a aproximação linear \log(x+\delta)\approx\log(x)+\dfrac{\delta}{x\ln 10}, porque \dfrac{d}{dx}\log_{10}x=\dfrac{1}{x\ln 10}.)

Passo 4

Identifico em qual intervalo da tabela está a solução de \log(\mathrm{x})=0,45. Observando os valores da tabela:
\log(2,8)=0,447158\quad\text{e}\quad \log(3,0)=0,477121.
Como 0,447158<0,45<0,477121, a solução está no intervalo [2,8,\,3,0]. Vou usar interpolação linear entre esses dois pontos para obter uma boa aproximação.

Passo 5

Derivo e aplico a fórmula da interpolação linear. Se temos dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) e queremos x tal que y vale um valor intermediário, a interpolação linear dá
x = x_1 + \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\,(x_2-x_1).
Aqui uso x_1=2,8,\\ y_1=0,447158,\\ x_2=3,0,\\ y_2=0,477121 e y=0,45. Calculo passo a passo:
y_2-y_1=0,477121-0,447158=0,029963,
y-y_1=0,450000-0,447158=0,002842,
\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{0,002842}{0,029963}\approx 0,094836.
Multiplico pelo comprimento do intervalo em x, que é x_2-x_1=0,2:
\Delta x=0,094836\times 0,2\approx 0,018967.
Finalmente
x = 2,8 + 0,018967 \approx 2,818967.
Arredondando para uma precisão prática, x\approx 2,81897. (Observação: o valor exato seria x=10^{0,45}\approx 2,818383; a interpolação linear na malha de passo 0,2 fornece aqui uma aproximação muito boa, o erro é da ordem de 6\times 10^{-4}.)

Resposta

x\approx 2,81897

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