Seja
uma função. Se
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
e um subconjunto
. Queremos mostrar que
Para isso vamos usar as definições de imagem de conjunto e de contraimagem (pré-imagem):
- A imagem de
é
- A pré-imagem de
é
Passo 2
Mostramos primeiro a inclusão
. Seja
.
Isso significa que existe tal que
.
Pela definição de pré-imagem, implica
.
Logo .
Portanto
Isso significa que existe
Pela definição de pré-imagem,
Logo
Portanto
Passo 3
Agora mostramos a inclusão
. Seja
.
Então existe tal que
.
Mas implica
, isto é,
.
Logo .
Assim
Então existe
Mas
Logo
Assim
Resposta
Portanto, juntando as duas inclusões, concluímos