Seja f: X Y uma função. Se A, B subset X, mostre que
f(f^-1(f(A)))=f(A).

Passo 1

O enunciado dá uma função fcolon Xto Y e um subconjunto Asubset X. Queremos mostrar que
fl(f^-1(f(A))r)=f(A)
Para isso vamos usar as definições de imagem de conjunto e de contraimagem (pré-imagem):
  • A imagem de Csubset X é
f(C)=,yin Ymid exists,xin C,;y=f(x)
  • A pré-imagem de Dsubset Y é
f^-1(D)=,xin Xmid f(x)in D

Passo 2

Mostramos primeiro a inclusão subseteq. Seja yin fl(f^-1(f(A))r).
Isso significa que existe xin f^-1(f(A)) tal que y=f(x).
Pela definição de pré-imagem, xin f^-1(f(A)) implica f(x)in f(A).
Logo y=f(x)in f(A).
Portanto
fl(f^-1(f(A))r)subseteq f(A)

Passo 3

Agora mostramos a inclusão supseteq. Seja yin f(A).
Então existe ain A tal que y=f(a).
Mas ain A implica f(a)in f(A), isto é, ain f^-1(f(A)).
Logo y=f(a)in fl(f^-1(f(A))r).
Assim
f(A)subseteq fl(f^-1(f(A))r)

Resposta

Portanto, juntando as duas inclusões, concluímos
fl(f^-1(f(A))r)=f(A)

Exercícios relacionados