Sejam
. Mostre que
Passo 1
O enunciado é sobre imagens de conjuntos por funções compostas. Temos duas funções
e
e um conjunto
. Queremos mostrar que a imagem de
pela composição
coincide com a imagem de
por
, isto é,
Para isso vamos usar a definição de imagem de um conjunto por uma função e fazer prova de dupla inclusão.
Passo 2
Recordemos as definições:
é o conjunto de todos os pontos em
da forma
isto é,
Por outro lado, primeiro formamos
e então
Passo 3
Para mostrar
, tomemos um elemento qualquer
.
Isso significa que existe tal que
Isso significa que existe
Como
pertence a
por definição, temos
. Logo
Passo 4
Para a inclusão inversa
, tomemos
.
Por definição disso, existe tal que
. Mas
significa que existe algum
com
. Portanto
Por definição disso, existe
com
. Assim
e concluímos
Passo 5
Como temos as duas inclusões
segue-se a igualdade dos conjuntos.