Sejam f: X Y, g: Y Z, A subset X e V subset Z. Mostre que
(g circ f)(A)=g(f(A))

Passo 1

O enunciado é sobre imagens de conjuntos por funções compostas. Temos duas funções
fcolon Xto Y e gcolon Yto Z e um conjunto Asubset X. Queremos mostrar que a imagem de A pela composição gcirc f coincide com a imagem de f(A) por g, isto é,
(gcirc f)(A)=gl(f(A)r)
Para isso vamos usar a definição de imagem de um conjunto por uma função e fazer prova de dupla inclusão.

Passo 2

Recordemos as definições:
(gcirc f)(A) é o conjunto de todos os pontos em Z da forma
(gcirc f)(x)com xin A,
isto é,
(gcirc f)(A)=,g(f(x))mid xin A
Por outro lado, primeiro formamos
f(A)=,f(x)mid xin Asubset Y
e então
gl(f(A)r)=,g(y)mid yin f(A)

Passo 3

Para mostrar (gcirc f)(A)subset gl(f(A)r), tomemos um elemento qualquer zin (gcirc f)(A).
Isso significa que existe xin A tal que
z=(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)
Como f(x) pertence a f(A) por definição, temos z=gl(f(x)r)in gl(f(A)r). Logo
(gcirc f)(A)subset gl(f(A)r)

Passo 4

Para a inclusão inversa gl(f(A)r)subset (gcirc f)(A), tomemos zin gl(f(A)r).
Por definição disso, existe yin f(A) tal que z=g(y). Mas yin f(A) significa que existe algum xin A com y=f(x). Portanto
z=g(y)=gl(f(x)r)=(gcirc f)(x),
com xin A. Assim zin (gcirc f)(A) e concluímos
gl(f(A)r)subset (gcirc f)(A)

Passo 5

Como temos as duas inclusões
(gcirc f)(A)subset gl(f(A)r) e gl(f(A)r)subset (gcirc f)(A),
segue-se a igualdade dos conjuntos.

Resposta

(gcirc f)(A)=gl(f(A)r)

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