Seja f: X Y uma função. Se A, B subset X, mostre que
f(A backslash B) supset f(A) backslash f(B). Mostre com um exemplo que em geral não vale a igualdade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, para uma função fcolon Xto Y e conjuntos A,Bsubset X, que
f(Asetminus B)supset f(A)setminus f(B),
ou seja, a imagem de Asetminus B contém a diferença das imagens. O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos e definição de imagem de função.

Passo 2

Para provar a inclusão, tomemos um elemento arbitrário
yin f(A)setminus f(B)
Por definição de diferença de conjuntos, isso significa
  1. yin f(A), ou seja, existe xin A tal que f(x)=y.
  2. ynotin f(B), ou seja, não existe elemento em B que seja levado em y.

Passo 3

Do item 1 temos um xin A com f(x)=y. Se, por absurdo, esse mesmo x pertencesse a B, então y=f(x) estaria em f(B), contradizendo o item 2. Logo xnotin B e portanto xin Asetminus B. Assim y=f(x)in f(Asetminus B). Como y era arbitrário em f(A)setminus f(B), concluímos
f(Asetminus B)supset f(A)setminus f(B)

Passo 4

Agora apresento um exemplo em que a inclusão é estrita, mostrando que em geral não há igualdade. Seja
X=1,2, Y=a,
e defina fcolon Xto Y por
f(1)=a, f(2)=a
Escolha
A=1,2, B=2

Passo 5

Calculemos:
Asetminus B=1, f(Asetminus B)=a
Por outro lado,
f(A)=a, f(B)=a,
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f(A)setminus f(B)=varnothing
Assim,
f(Asetminus B)=asupsetneqqvarnothing=f(A)setminus f(B),
ou seja, a inclusão é estrita.

Resposta

Mostramos que sempre vale
f(Asetminus B)supset f(A)setminus f(B)
e demos o exemplo acima para ver que a igualdade pode falhar.

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