Seja
uma função. Se
, mostre que
. Mostre com um exemplo que em geral não vale a igualdade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, para uma função
e conjuntos
, que
ou seja, a imagem de
contém a diferença das imagens. O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos e definição de imagem de função.
Passo 2
Para provar a inclusão, tomemos um elemento arbitrário
Por definição de diferença de conjuntos, isso significa
-
, ou seja, existe tal que . -
, ou seja, não existe elemento em que seja levado em .
Passo 3
Do item 1 temos um
com
. Se, por absurdo, esse mesmo
pertencesse a
, então
estaria em
, contradizendo o item 2. Logo
e portanto
. Assim
. Como
era arbitrário em
, concluímos
Passo 4
Agora apresento um exemplo em que a inclusão é estrita, mostrando que em geral não há igualdade. Seja
e defina
por
Escolha
Passo 5
Calculemos:
Por outro lado,
logo
Assim,
ou seja, a inclusão é estrita.
Resposta
Mostramos que sempre vale
e demos o exemplo acima para ver que a igualdade pode falhar.