Sejam
uma função e
. Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado fornece uma função
, um subconjunto
e um subconjunto
. Precisamos mostrar duas afirmações:
-
. -
.
Para isso, usamos as definições
Passo 2
Prova de
.
Seja . Pela definição de imagem,
. Então, pela definição de contraimagem, isso implica
. Como
era arbitrário em
, concluímos
Seja
Passo 3
Prova de
.
Primeiro, mostre . Se
, existe
tal que
. Mas
significa
. Logo
.
Em segundo lugar, qualquer está em
.
Assim
Primeiro, mostre
Em segundo lugar, qualquer
Assim
logo
Passo 4
Prova de
.
Seja . Então
e
. Do fato
segue que existe
com
. Como
, temos
, isto é,
. Portanto
. Isso prova a inclusão desejada.
Seja
Passo 5
Juntando as inclusões do passo 3 e do passo 4, obtemos
Isso encerra a demonstração de ambas as afirmações.