Sejam f: X Y uma função e A subset X, V subset Y. Mostre que A subset f^-1(f(A)) e f(f^-1(V))=V cap f(X).

Passo 1

O enunciado fornece uma função fcolon Xto Y, um subconjunto Asubset X e um subconjunto Vsubset Y. Precisamos mostrar duas afirmações:
  1. A subset f^-1(f(A)).
  2. fl(f^-1(V)r)=Vcap f(X).
Para isso, usamos as definições
f(A)=,yin Ymid exists xin A:;f(x)=y,
f^-1(V)=,xin Xmid f(x)in V

Passo 2

Prova de A subset f^-1(f(A)).
Seja xin A. Pela definição de imagem, f(x)in f(A). Então, pela definição de contraimagem, isso implica xin f^-1(f(A)). Como x era arbitrário em A, concluímos
A subset f^-1(f(A))

Passo 3

Prova de fl(f^-1(V)r)subset Vcap f(X).
Primeiro, mostre f(f^-1(V))subset V. Se yin f(f^-1(V)), existe xin f^-1(V) tal que y=f(x). Mas xin f^-1(V) significa f(x)in V. Logo yin V.
Em segundo lugar, qualquer y=f(x) está em f(X).
Assim
fl(f^-1(V)r)subset V e fl(f^-1(V)r)subset f(X),
logo
fl(f^-1(V)r)subset Vcap f(X)

Passo 4

Prova de Vcap f(X)subset fl(f^-1(V)r).
Seja yin Vcap f(X). Então yin V e yin f(X). Do fato yin f(X) segue que existe xin X com y=f(x). Como yin V, temos f(x)in V, isto é, xin f^-1(V). Portanto y=f(x)in f(f^-1(V)). Isso prova a inclusão desejada.

Passo 5

Juntando as inclusões do passo 3 e do passo 4, obtemos
fl(f^-1(V)r)=Vcap f(X)
Isso encerra a demonstração de ambas as afirmações.

Resposta

A subset f^-1(f(A)), fl(f^-1(V)r)=Vcap f(X)

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