Seja
uma função. Se
, mostre que
. Mostre com um exemplo que em geral não vale a igualdade.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
e dois subconjuntos
. Pede para mostrar que
ou seja, que a imagem da interseção está contida na interseção das imagens, e apresentar um exemplo em que a igualdade não ocorre.
Passo 2
Para provar a inclusão, tome um elemento arbitrário
. Então existe
tal que
. Como
, temos
e
. Logo
pertence a
e também a
, implicando
Como
era arbitrário, concluímos
Passo 3
Para ver que a inclusão pode ser estrita, considere a função
definida por
e
. Seja
e
. Então
e
Por outro lado
e portanto
.
Dessa forma
Dessa forma
, mostrando que não há igualdade em geral.
Resposta
A inclusão
vale sempre, mas em geral não atinge igualdade. O exemplo acima ilustra um caso de inclusão estrita.