Seja f: X Y uma função. Se A, B subset X, mostre que
f(A cap B) subset f(A) cap f(B). Mostre com um exemplo que em geral não vale a igualdade.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função fcolon X to Y e dois subconjuntos A,B subset X. Pede para mostrar que
f(A cap B) subset f(A) cap f(B),
ou seja, que a imagem da interseção está contida na interseção das imagens, e apresentar um exemplo em que a igualdade não ocorre.

Passo 2

Para provar a inclusão, tome um elemento arbitrário y in f(A cap B). Então existe x in A cap B tal que f(x)=y. Como xin A cap B, temos xin A e xin B. Logo y=f(x) pertence a f(A) e também a f(B), implicando
y in f(A) cap f(B)
Como y era arbitrário, concluímos
f(A cap B) subset f(A) cap f(B)

Passo 3

Para ver que a inclusão pode ser estrita, considere a função fcolon 1,2toa definida por f(1)=a e f(2)=a. Seja A=1 e B=2. Então A cap B=varnothing e
f(A cap B)=f(varnothing)=varnothing
Por outro lado
f(A)=a
f(B)=a
e portanto
f(A)cap f(B)=a
.
Dessa forma
varnothing = f(A cap B)subsetneqq f(A)cap f(B)=a
, mostrando que não há igualdade em geral.

Resposta

A inclusão ,f(A cap B)subset f(A) cap f(B) vale sempre, mas em geral não atinge igualdade. O exemplo acima ilustra um caso de inclusão estrita.

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