Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega.
Se A cup B=A cup C, então B=C?

Passo 1

O enunciado diz que A,B,Csubseteq Omega e que
Acup B = Acup C
A pergunta é se a partir disso sempre segue que B=C. Para responder, vamos usar propriedades básicas de conjuntos, em especial divisão em parte dentro e fora de A.

Passo 2

Mostramos que de Acup B = Acup C decorre a igualdade dos complementos relativos fora de A. Seja xin Bsetminus A. Então xnotin A e xin B, logo xin Acup B = Acup C. Como não pode estar em A, fica xin C. Assim
Bsetminus A subseteq C
De modo análogo, trocando B por C, obtemos
Csetminus A subseteq B
Portanto
Bsetminus A = Csetminus A

Passo 3

Escrevendo cada conjunto como união da parte dentro de A e da parte fora de A, temos
B = (Bsetminus A);cup;(Bcap A), C = (Csetminus A);cup;(Ccap A)
Já sabemos que Bsetminus A = Csetminus A, mas não sabemos nada sobre Bcap A e Ccap A. Logo B e C podem diferir justamente dentro de A.

Passo 4

Um contraexemplo concreto: tome
Omega=0,1,2, A=0, B=1, C=0,1
Então
Acup B=0,1=Acup C,
porém Bneq C (pois 0in C mas 0notin B).

Resposta

Não. Em geral de Acup B=Acup C só segue que Bsetminus A=Csetminus A, mas B e C podem diferir em elementos de A.

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