Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
.
Se
, então
?
Se
Passo 1
O enunciado diz que
e que
A pergunta é se a partir disso sempre segue que
. Para responder, vamos usar propriedades básicas de conjuntos, em especial divisão em parte dentro e fora de
.
Passo 2
Mostramos que de
decorre a igualdade dos complementos relativos fora de
. Seja
. Então
e
, logo
. Como não pode estar em
, fica
. Assim
De modo análogo, trocando
por
, obtemos
Portanto
Passo 3
Escrevendo cada conjunto como união da parte dentro de
e da parte fora de
, temos
Já sabemos que
, mas não sabemos nada sobre
e
. Logo
e
podem diferir justamente dentro de
.
Passo 4
Um contraexemplo concreto: tome
Então
porém
(pois
mas
).
Resposta
Não. Em geral de
só segue que
, mas
e
podem diferir em elementos de
.