Seja
a função posição de uma partícula de massa
sujeita a um campo de forças
, onde
é um conjunto aberto e a imagem de
está incluída em
. Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
Se
é a curva parametrizada por
, justifique o seguinte fato:
Se
, então
onde
é a função velocidade da partícula em questão.
Se
Passo 1
O enunciado define uma partícula de massa
cuja posição é dada por
em
e sujeita à força
.
Mostra-se que, se a força é conservativa, ou seja
Mostra-se que, se a força é conservativa, ou seja
então a energia mecânica
é constante, isto é
Passo 2
Começamos aplicando o produto escalar da equação de Newton com a velocidade
. Assim
Passo 3
Usamos a regra da cadeia para reconhecer o lado direito como a derivada da energia cinética:
Passo 4
No lado esquerdo, como
, aplicamos a regra da cadeia a
:
Passo 5
Igualando os dois resultados obtidos em bloco, temos
Isso mostra que a energia mecânica total é constante no tempo.
Passo 6
Integrando a derivada nula de
a
, concluímos