Seja r:[t1, t2] R^3 a função posição de uma partícula de massa m sujeita a um campo de forças F: Dom(F) subset R^3 R^3, onde Dom(F) é um conjunto aberto e a imagem de r está incluída em Dom(F). Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
F(r(t))=m ddotr(t)
Se mathscrC é a curva parametrizada por r, justifique o seguinte fato:
Se F(x, y, z)=-nabla U(x, y, z), então
m2|v(t1)|^2+U(r(t1))=m2|v(t2)|^2+U(r(t2))
onde v é a função velocidade da partícula em questão.

Passo 1

O enunciado define uma partícula de massa m cuja posição é dada por
r(t) em [t1,t2] e sujeita à força
F(r)=m,ddotr(t).
Mostra-se que, se a força é conservativa, ou seja
F(x,y,z)=-nabla U(x,y,z),
então a energia mecânica
tfracm2|v(t)|^2+U(r(t)) é constante, isto é
tfracm2|v(t1)|^2+U(r(t1)) =tfracm2|v(t2)|^2+U(r(t2))

Passo 2

Começamos aplicando o produto escalar da equação de Newton com a velocidade
v(t)=dotr(t). Assim
F(r(t))cdotv(t) = m,ddotr(t)cdotdotr(t)

Passo 3

Usamos a regra da cadeia para reconhecer o lado direito como a derivada da energia cinética:
m,ddotr(t)cdotdotr(t) = m,ddtl(tfrac12|dotr(t)|^2r) = ddtl(tfracm2|v(t)|^2r)

Passo 4

No lado esquerdo, como
F=-nabla U, aplicamos a regra da cadeia a U(r(t)):
F(r(t))cdotv(t) = -nabla U(r(t))cdotdotr(t) = -ddtl(U(r(t))r)

Passo 5

Igualando os dois resultados obtidos em bloco, temos
ddtl(tfracm2|v(t)|^2r) = -ddtl(U(r(t))r) Longrightarrow ddtl(tfracm2|v(t)|^2+U(r(t))r)=0
Isso mostra que a energia mecânica total é constante no tempo.

Passo 6

Integrando a derivada nula de t1 a t2, concluímos
l[tfracm2|v(t)|^2+U(r(t))r]t1^t2=0 Longrightarrow tfracm2|v(t1)|^2+U(r(t1)) =tfracm2|v(t2)|^2+U(r(t2))

Resposta

m2l|v(t1)r|^2 +Ul(r(t1)r) = m2l|v(t2)r|^2 +Ul(r(t2)r)

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