Seja a função f(x)=\sqrt{1+x} :
a) Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de a=0 de grau n.
b) Calcule P_{3}(0.5) e calcule o erro absoluto desta aproximação.
c) Determine o erro máximo no intervalo [0,1], para P_{3}(x).
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{1+x} e pede três coisas:
(a) Uma fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau n centrado em a=0.
(b) Calcular P_{3}(0{,}5) e o erro absoluto dessa aproximação (isto é, |f(0{,}5)-P_{3}(0{,}5)|).
(c) Determinar o erro máximo no intervalo [0,1] para P_{3}(x).
Informações relevantes dadas:
A expansão é em torno de a=0.
Vamos usar a definição de polinômio de Taylor e a fórmula do resto de Lagrange para estimar erros.
Passo 2
Lembrete rápido (fórmulas que vou usar) e explicação dos símbolos:
O polinômio de Taylor de grau n de uma função f centrado em 0 é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k},
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0, e k! (fatorial) é 1\cdot2\cdot\cdots\cdot k.
O resto de Lagrange (termo de erro) para grau n é
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x. Assim |R_n(x)|\le \max_{\zeta\in[0,x]}\left|\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}\right||x|^{\,n+1}.
Vou aplicar isso para f(x)=\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}.
Passo 3
Calcular a forma geral das derivadas de f(x)=(1+x)^{1/2}.
Usamos a regra de potência generalizada: para \alpha\in\mathbb{R},
Em módulo, uma estimativa simples é usar o máximo de |f^{(4)}(t)| para t\in[0,\tfrac12]. Como (1+t)^{-7/2} é decrescente em t\ge0, o máximo ocorre em t=0, portanto
o que é um limite superior (maior que o erro real calculado numericamente), confirmando que o erro real está dentro desse teto.
Passo 8
Erro máximo no intervalo [0,1] (interpretação: achar um limite superior garantido para |R_3(x)| em todo o intervalo).
Usando a expressão do resto com k=4,
Esse valor é um limite garantido (o pior caso possível dado a informação pelo resto de Lagrange). Podemos também dar o erro real em x=1 (que costuma ser o maior erro numérico neste tipo de série): calcule
Note que esse erro real em x=1 é menor que o limite garantido 5/128, como esperado.
Passo 9
Resumo final: já obtivemos a fórmula geral (a), o valor numérico e erro em x=0{,}5 (b), e um limite para o erro máximo no intervalo (c) além do erro real em x=1.
Força aí — você já tem a fórmula geral para qualquer n e sabe como estimar o erro com o resto de Lagrange; na prova, escreva a soma com \binom{1/2}{k} e calcule os primeiros coeficientes como fiz aqui.
Resposta
(a) P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{1/2}{k}x^{k}, com \displaystyle\binom{1/2}{k}=\frac{(\tfrac12)(\tfrac12-1)\cdots(\tfrac12-k+1)}{k!}.\n
(b) P_3(0{,}5)=\dfrac{157}{128}\approx1{,}2265625. Erro absoluto: |f(0{,}5)-P_3(0{,}5)|\approx0{,}001817629 (com teto pelo resto: |R_3(0{,}5)|\le\dfrac{5}{2048}\approx0{,}00244140625).\n
(c) Pelo resto de Lagrange, para todo x\in[0,1] tem-se |R_3(x)|\le\dfrac{5}{128}x^{4}\le\dfrac{5}{128}\approx0{,}0390625. O erro real no extremo x=1 é |f(1)-P_3(1)|\approx0{,}0232864376.