Seja a função f(x)=\sqrt{1+x} :
a) Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de a=0 de grau n.
b) Calcule P_{3}(0.5) e calcule o erro absoluto desta aproximação.
c) Determine o erro máximo no intervalo [0,1], para P_{3}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{1+x} e pede três coisas:
  • (a) Uma fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau n centrado em a=0.
  • (b) Calcular P_{3}(0{,}5) e o erro absoluto dessa aproximação (isto é, |f(0{,}5)-P_{3}(0{,}5)|).
  • (c) Determinar o erro máximo no intervalo [0,1] para P_{3}(x).
Informações relevantes dadas:
  • A expansão é em torno de a=0.
  • Vamos usar a definição de polinômio de Taylor e a fórmula do resto de Lagrange para estimar erros.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmulas que vou usar) e explicação dos símbolos:
  • O polinômio de Taylor de grau n de uma função f centrado em 0 é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k},
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0, e k! (fatorial) é 1\cdot2\cdot\cdots\cdot k.
  • O resto de Lagrange (termo de erro) para grau n é
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x. Assim |R_n(x)|\le \max_{\zeta\in[0,x]}\left|\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}\right||x|^{\,n+1}.
Vou aplicar isso para f(x)=\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}.

Passo 3

Calcular a forma geral das derivadas de f(x)=(1+x)^{1/2}.
Usamos a regra de potência generalizada: para \alpha\in\mathbb{R},
\frac{d^k}{dx^k}(1+x)^{\alpha} = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)\,(1+x)^{\alpha-k}.
Aqui \alpha=\tfrac12. Logo, para k\ge0,
f^{(k)}(x)=\left(\tfrac12\right)\left(\tfrac12-1\right)\cdots\left(\tfrac12-k+1\right)(1+x)^{\tfrac12-k}.
Avaliado em x=0
f^{(k)}(0)=\left(\tfrac12\right)\left(\tfrac12-1\right)\cdots\left(\tfrac12-k+1\right).
Dividindo por k! aparece o coeficiente binomial generalizado:
\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\binom{1/2}{k},
onde, por definição,
\binom{1/2}{k}=\frac{\left(\tfrac12\right)\left(\tfrac12-1\right)\cdots\left(\tfrac12-k+1\right)}{k!}.

Passo 4

Da fórmula do passo anterior, o polinômio de Taylor de grau n centrado em 0 é simplesmente a soma dos primeiros n+1 termos da série binomial:
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{1/2}{k}x^{k}.
Esta é a resposta pedida em (a). Observação prática: essa série é a expansão do binômio (1+x)^{1/2}.

Passo 5

Agora aplico isso para n=3 e calculo os coeficientes explicitamente (útil para (b) e (c)).
Calcule as combinações:
  • Para k=0: \binom{1/2}{0}=1.
  • Para k=1: \binom{1/2}{1}=\tfrac12.
  • Para k=2:
\binom{1/2}{2}=\frac{(\tfrac12)(\tfrac12-1)}{2!}=\frac{(\tfrac12)(-\tfrac12)}{2}=-\frac{1}{8}.
  • Para k=3:
\binom{1/2}{3}=\frac{(\tfrac12)(-\tfrac12)(-\tfrac32)}{3!}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}.
Assim
P_3(x)=1+\tfrac12 x-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{1}{16}x^{3}.

Passo 6

Calcular P_3(0{,}5). Coloco x=0{,}5=\tfrac12.
P_3\!\left(\tfrac12\right)=1+\tfrac12\cdot\tfrac12-\tfrac{1}{8}\left(\tfrac12\right)^{2}+\tfrac{1}{16}\left(\tfrac12\right)^{3}.
Faço por frações:
P_3\!\left(\tfrac12\right)=1+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16}\cdot\tfrac{1}{8} =1+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{128}.
Pelo denominador comum 128:
P_3\!\left(\tfrac12\right)=\frac{128+32-4+1}{128}=\frac{157}{128}=1{,}2265625.

Passo 7

Erro absoluto em x=0{,}5: calculo o valor exato da função e a diferença.
f\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{1+\tfrac12}=\sqrt{\tfrac32}\approx1{,}22474487139.
Logo o erro absoluto
|f(\tfrac12)-P_3(\tfrac12)|=\left|1{,}22474487139-1{,}2265625\right|\approx0{,}00181762861.
(Arredondando: 0{,}00181763.)
Para justificar e ter um limite teórico, uso o resto de Lagrange de ordem 3. A quarta derivada geral (veja passo 3 com k=4) é
f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-7/2}.
Então existe \xi\in(0,\tfrac12) tal que
R_3\!\left(\tfrac12\right)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\left(\tfrac12\right)^{4}.
Em módulo, uma estimativa simples é usar o máximo de |f^{(4)}(t)| para t\in[0,\tfrac12]. Como (1+t)^{-7/2} é decrescente em t\ge0, o máximo ocorre em t=0, portanto
|f^{(4)}(t)|\le \frac{15}{16}\quad\text{em }[0,\tfrac12].
Assim
|R_3(\tfrac12)|\le \frac{15/16}{4!}\left(\tfrac12\right)^{4}=\frac{15}{384}\cdot\frac{1}{16}=\frac{5}{2048}\approx0{,}00244140625,
o que é um limite superior (maior que o erro real calculado numericamente), confirmando que o erro real está dentro desse teto.

Passo 8

Erro máximo no intervalo [0,1] (interpretação: achar um limite superior garantido para |R_3(x)| em todo o intervalo).
Usando a expressão do resto com k=4,
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^{4} \quad\text{para algum }\xi\in(0,x).
Como |f^{(4)}(t)|=\dfrac{15}{16}(1+t)^{-7/2} e (1+t)^{-7/2}\le 1 para t\ge0, obtemos para todo x\in[0,1]
|R_3(x)|\le \frac{15/16}{4!}x^{4}=\frac{15}{384}x^{4}=\frac{5}{128}x^{4}.
O lado direito é crescente em x\ge0, então o máximo desse teto no intervalo [0,1] ocorre em x=1:
\max_{x\in[0,1]}|R_3(x)| \le \frac{5}{128}\approx0{,}0390625.
Esse valor é um limite garantido (o pior caso possível dado a informação pelo resto de Lagrange). Podemos também dar o erro real em x=1 (que costuma ser o maior erro numérico neste tipo de série): calcule
P_3(1)=1+\tfrac12-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}=1{,}4375, \qquad f(1)=\sqrt{2}\approx1{,}41421356237,
logo o erro real em x=1 é
|f(1)-P_3(1)|\approx|1{,}41421356237-1{,}4375|\approx0{,}02328643763.
Note que esse erro real em x=1 é menor que o limite garantido 5/128, como esperado.

Passo 9

Resumo final: já obtivemos a fórmula geral (a), o valor numérico e erro em x=0{,}5 (b), e um limite para o erro máximo no intervalo (c) além do erro real em x=1.
Força aí — você já tem a fórmula geral para qualquer n e sabe como estimar o erro com o resto de Lagrange; na prova, escreva a soma com \binom{1/2}{k} e calcule os primeiros coeficientes como fiz aqui.

Resposta

(a) P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{1/2}{k}x^{k}, com \displaystyle\binom{1/2}{k}=\frac{(\tfrac12)(\tfrac12-1)\cdots(\tfrac12-k+1)}{k!}.\n
(b) P_3(0{,}5)=\dfrac{157}{128}\approx1{,}2265625. Erro absoluto: |f(0{,}5)-P_3(0{,}5)|\approx0{,}001817629 (com teto pelo resto: |R_3(0{,}5)|\le\dfrac{5}{2048}\approx0{,}00244140625).\n
(c) Pelo resto de Lagrange, para todo x\in[0,1] tem-se |R_3(x)|\le\dfrac{5}{128}x^{4}\le\dfrac{5}{128}\approx0{,}0390625. O erro real no extremo x=1 é |f(1)-P_3(1)|\approx0{,}0232864376.

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