Calcule o valor da integral
utilizando integração numérica. (Escolha o método).
Resposta: 0,746824
Resposta: 0,746824
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dado: a integral definida
. - Pedido: calcular numericamente o valor dessa integral (apresentar uma aproximação numérica confiável).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os limites de integração são
e . - A integranda é
, que não tem primitiva elementar expressável por funções elementares (por isso o pedido de integração numérica).
Passo 2
Escolha do método e justificativa curta:
- Vou usar a expansão em série de Taylor de
em torno de , integrar termo a termo e somar os termos para obter uma aproximação. Justificativa: essa função é analítica em todo , a série converge rápido em e a série resultante é alternada com termos decrescentes em magnitude, o que permite um controle direto do erro (critério de Leibniz). Esse método é direto, fácil de executar à mão até a precisão desejada e didaticamente claro para provas.
Passo 3
Expansão em série de Taylor de
e aplicação com
:
- Lembrando a série de Taylor para
:
- Tomando
obtemos
Aqui cada símbolo representa:
-
é o índice da soma (inteiro não negativo), -
é o fatorial de , -
é a variável de integração.
Passo 4
Integração termo a termo na faixa
:
- Como a série converge uniformemente em
, é lícito integrar termo a termo. Integramos cada monômio:
- Calculando a integral de
:
- Portanto obtemos a série para a integral:
Passo 5
Estratégia numérica e controle de erro:
- A série é uma série alternada cujos termos em módulo
decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, o erro absoluto ao truncar a série após termos é no máximo o próximo termo . - Logo, para obter precisão até a sexta casa decimal (erro menor que
aproximadamente), basta somar termos até que o próximo termo seja menor que esse limite. Vamos computar termos até que isso ocorra.
Passo 6
Cálculo explícito dos primeiros termos (formas fracionárias e aproximações decimais):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Continuação dos termos e somas parciais até termos suficientemente pequenos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora as somas parciais (mostrando uma precisão suficiente):
Passo 8
Estimativa do erro e arredondamento final:
- A série é alternada com termos de módulo decrescente. Pelo critério de Leibniz, o erro absoluto ao usar
(isto é, somar termos até ) é no máximo o próximo termo em módulo:
- Como
, o erro é menor que . Portanto o valor arredondado da soma com precisão de seis casas decimais é estável. - Arredondando
para seis casas decimais obtemos o resultado pedido.