Calcule o valor da integral
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x
utilizando integração numérica. (Escolha o método).
Resposta: 0,746824

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dado: a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx.
  • Pedido: calcular numericamente o valor dessa integral (apresentar uma aproximação numérica confiável).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • A integranda é e^{-x^{2}}, que não tem primitiva elementar expressável por funções elementares (por isso o pedido de integração numérica).

Passo 2

Escolha do método e justificativa curta:
  • Vou usar a expansão em série de Taylor de e^{-x^{2}} em torno de x=0, integrar termo a termo e somar os termos para obter uma aproximação. Justificativa: essa função é analítica em todo \mathbb{R}, a série converge rápido em [0,1] e a série resultante é alternada com termos decrescentes em magnitude, o que permite um controle direto do erro (critério de Leibniz). Esse método é direto, fácil de executar à mão até a precisão desejada e didaticamente claro para provas.

Passo 3

Expansão em série de Taylor de e^{u} e aplicação com u=-x^{2}:
  • Lembrando a série de Taylor para e^{u}:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}\quad\text{(válida para todo }u\in\mathbb{R}\text{)}.á
  • Tomando u=-x^{2} obtemos
e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}.
Aqui cada símbolo representa:
  • n é o índice da soma (inteiro não negativo),
  • n! é o fatorial de n,
  • x é a variável de integração.

Passo 4

Integração termo a termo na faixa [0,1]:
  • Como a série converge uniformemente em [0,1], é lícito integrar termo a termo. Integramos cada monômio:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{1}x^{2n}\,dx.
  • Calculando a integral de x^{2n}:
\int_{0}^{1}x^{2n}\,dx=\frac{1}{2n+1}.
  • Portanto obtemos a série para a integral:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(2n+1)}.

Passo 5

Estratégia numérica e controle de erro:
  • A série é uma série alternada cujos termos em módulo a_{n}=\dfrac{1}{n!(2n+1)} decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, o erro absoluto ao truncar a série após N termos é no máximo o próximo termo a_{N+1}.
  • Logo, para obter precisão até a sexta casa decimal (erro menor que 5\times10^{-7} aproximadamente), basta somar termos até que o próximo termo seja menor que esse limite. Vamos computar termos até que isso ocorra.

Passo 6

Cálculo explícito dos primeiros termos (formas fracionárias e aproximações decimais):
  • Para n=0:
\text{termo}_0=\frac{(-1)^{0}}{0!(2\cdot0+1)}=\frac{1}{1}=1.
  • Para n=1:
\text{termo}_1=\frac{(-1)^{1}}{1!(3)}=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333333.
  • Para n=2:
\text{termo}_2=\frac{1}{2!(5)}=\frac{1}{10}=0,1.
  • Para n=3:
\text{termo}_3=-\frac{1}{3!(7)}=-\frac{1}{42}\approx -0,023809523810.
  • Para n=4:
\text{termo}_4=\frac{1}{4!(9)}=\frac{1}{216}\approx 0,004629629630.

Passo 7

Continuação dos termos e somas parciais até termos suficientemente pequenos:
  • Para n=5:
\text{termo}_5=-\frac{1}{5!(11)}=-\frac{1}{1320}\approx -0,000757575758.
  • Para n=6:
\text{termo}_6=\frac{1}{6!(13)}=\frac{1}{9360}\approx 0,000106837607.
  • Para n=7:
\text{termo}_7=-\frac{1}{7!(15)}=-\frac{1}{75600}\approx -0,000013227513.
  • Para n=8:
\text{termo}_8=\frac{1}{8!(17)}=\frac{1}{685440}\approx 0,000001458201.
Agora as somas parciais (mostrando uma precisão suficiente):
\begin{aligned} S_{0}&=1,\\\ S_{1}&=1-\tfrac{1}{3}=0,666666666667,\\\ S_{2}&=S_{1}+0,1=0,766666666667,\\\ S_{3}&=S_{2}-0,023809523810=0,742857142857,\\\ S_{4}&=S_{3}+0,004629629630=0,747486772487,\\\ S_{5}&=S_{4}-0,000757575758=0,746729196729,\\\ S_{6}&=S_{5}+0,000106837607=0,746836034336,\\\ S_{7}&=S_{6}-0,000013227513=0,746822806823,\\\ S_{8}&=S_{7}+0,000001458201=0,746824265024. \end{aligned}

Passo 8

Estimativa do erro e arredondamento final:
  • A série é alternada com termos de módulo decrescente. Pelo critério de Leibniz, o erro absoluto ao usar S_{8} (isto é, somar termos até n=8) é no máximo o próximo termo em módulo:
|E|\le \text{termo}_{9}=\frac{1}{9!(19)}\approx 0,000000145013.
  • Como \text{termo}_{9}\approx 1{,}45\times10^{-7}, o erro é menor que 5\times10^{-7}. Portanto o valor arredondado da soma S_{8} com precisão de seis casas decimais é estável.
  • Arredondando S_{8} para seis casas decimais obtemos o resultado pedido.

Resposta

0,746824

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