Resolva as integrais:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - É uma integral no intervalo
; atenção: o integrando tem singularidade em por causa de no denominador, então mais adiante vamos justificar a convergência.
Passo 2
Estratégia de resolução (substituição): quando aparece
dentro de uma função e
também no denominador, uma substituição típica é colocar a própria raiz como nova variável. Vamos fazer a substituição
A partir disso obtemos
Troca dos limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral. Substituindo
,
e mudando os limites, temos
Simplificando
no numerador e denominador,
Passo 4
Calcular a integral simples de exponencial. A antiderivada de
é
. Assim,
Passo 5
Justificativa da convergência no ponto
: embora o integrando original pareça singular em
, perto de zero temos
aproximadamente
, então o comportamento é comparable a
, que converge (porque o expoente
). A substituição feita mostra diretamente que a integral é finita e igual a
.
Passo 6
Dica rápida para prova: sempre que aparecer algo do tipo
em uma integral, tente
. Isso transforma
em
, simplificando muito o cálculo. Exemplo rápido:
.