Resolva as integrais:
a) \int_{0}^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
  • É uma integral no intervalo [0,1]; atenção: o integrando tem singularidade em x=0 por causa de \sqrt{x} no denominador, então mais adiante vamos justificar a convergência.

Passo 2

Estratégia de resolução (substituição): quando aparece \sqrt{x} dentro de uma função e \sqrt{x} também no denominador, uma substituição típica é colocar a própria raiz como nova variável. Vamos fazer a substituição
u=\sqrt{x}.
A partir disso obtemos
x=u^2,\qquad dx=2u\,du.
Troca dos limites: quando x=0 temos u=0; quando x=1 temos u=1.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral. Substituindo u=\sqrt{x}, dx=2u\,du e mudando os limites, temos
\int_{0}^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{1} \frac{e^{u}}{u}\cdot 2u\,du.
Simplificando u no numerador e denominador,
\int_{0}^{1} \frac{e^{u}}{u}\cdot 2u\,du = \int_{0}^{1} 2e^{u}\,du.

Passo 4

Calcular a integral simples de exponencial. A antiderivada de e^{u} é e^{u}. Assim,
\int_{0}^{1} 2e^{u}\,du = 2\Big[e^{u}\Big]_{0}^{1} = 2\big(e^{1}-e^{0}\big)=2(e-1).

Passo 5

Justificativa da convergência no ponto x=0: embora o integrando original pareça singular em x=0, perto de zero temos e^{\sqrt{x}} aproximadamente 1, então o comportamento é comparable a \int_{0} x^{-1/2}\,dx, que converge (porque o expoente -\tfrac{1}{2}>-1). A substituição feita mostra diretamente que a integral é finita e igual a 2(e-1).

Passo 6

Dica rápida para prova: sempre que aparecer algo do tipo \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} em uma integral, tente u=\sqrt{x}. Isso transforma \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx em 2f(u)\,du, simplificando muito o cálculo. Exemplo rápido: \int_{0}^{1}\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = 2\int_{0}^{1}\sin u\,du = 2(1-\cos 1).

Resposta

2(e-1)

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