Seja
onde
e
são números reais. Suponha que
se anule ao longo de qualquer caminho fechado simples
.
Seja
o caminho que consiste do segmento de reta que liga a origem ao ponto
. Usando o valor de
calculado no item anterior e sabendo que
, calcule o valor de
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma função
, onde
e
e
são números reais. A questão nos diz que a integral de
ao longo de qualquer caminho fechado simples
é nula, ou seja,
. Também nos dá uma integral específica ao longo de um caminho
, que é o segmento de reta da origem até o ponto
, e essa integral vale
. Precisamos, usando o valor de
já calculado (supomos que foi feito anteriormente), encontrar o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender o que significa a integral de uma função complexa ao longo de um caminho.
- Usar as condições dadas para encontrar relações entre
e . - Finalmente, calcular o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se a integral de uma função complexa
ao longo de qualquer caminho fechado simples
é zero, isso geralmente indica que a função é analítica (diferenciável) em uma região simplesmente conexa. Para que
seja analítica, ela deve satisfazer as Equações de Cauchy-Riemann.
As Equações de Cauchy-Riemann são:
onde
.
No nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro:
De acordo com a primeira equação de Cauchy-Riemann:
Para que isso seja válido para todo
, temos que:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação de Cauchy-Riemann:
De acordo com a segunda equação:
Substituindo
:
Isso confirma que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas com
. Portanto,
é analítica no domínio considerado.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral ao longo do caminho
, que vai da origem
até o ponto
. Como
é analítica, podemos integrar diretamente.
Para um caminho reto de
a
, temos:
Então,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Vamos substituir
na integral:
Então:
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 8
Vamos separar a integral em partes reais e imaginárias:
e
Calculando cada uma:
e
Passo 9
Juntando as partes real e imaginária:
Sabemos que:
Então, igualando:
Passo 10
Percebemos que os fatores multiplicativos são iguais, então:
Portanto:
Resposta
O valor de
é
.