Seja
f(z)=(x^2-y^2)+i(alpha x y+beta), z=x+i y
onde alpha e beta são números reais. Suponha que integralC f(z) d z se anule ao longo de qualquer caminho fechado simples C.
Seja C^prime o caminho que consiste do segmento de reta que liga a origem ao ponto 1+i. Usando o valor de alpha calculado no item anterior e sabendo que integralC^prime f(z) d z=23(i-1), calcule o valor de beta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma função f(z) = (x^2 - y^2) + i(alpha x y + beta) , onde z = x + i y e alpha e beta são números reais. A questão nos diz que a integral de f(z) ao longo de qualquer caminho fechado simples C é nula, ou seja, integralC f(z) dz = 0 . Também nos dá uma integral específica ao longo de um caminho C' , que é o segmento de reta da origem até o ponto 1 + i , e essa integral vale 23(i - 1) . Precisamos, usando o valor de alpha já calculado (supomos que foi feito anteriormente), encontrar o valor de beta .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender o que significa a integral de uma função complexa ao longo de um caminho.
  • Usar as condições dadas para encontrar relações entre alpha e beta .
  • Finalmente, calcular o valor de beta .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se a integral de uma função complexa f(z) ao longo de qualquer caminho fechado simples C é zero, isso geralmente indica que a função é analítica (diferenciável) em uma região simplesmente conexa. Para que f(z) seja analítica, ela deve satisfazer as Equações de Cauchy-Riemann.
As Equações de Cauchy-Riemann são:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
onde f(z) = u(x, y) + i v(x, y) .
No nosso caso:
u(x, y) = x^2 - y^2 e v(x, y) = alpha x y + beta

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro:
partial upartial x = 2x e partial vpartial y = alpha x
De acordo com a primeira equação de Cauchy-Riemann:
2x = alpha x
Para que isso seja válido para todo x , temos que:
alpha = 2

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação de Cauchy-Riemann:
partial upartial y = -2y e partial vpartial x = alpha y
De acordo com a segunda equação:
-2y = -alpha y
Substituindo alpha = 2 :
-2y = -2y
Isso confirma que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas com alpha = 2 . Portanto, f(z) é analítica no domínio considerado.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral ao longo do caminho C' , que vai da origem (0,0) até o ponto (1,1) . Como f(z) é analítica, podemos integrar diretamente.
Para um caminho reto de t = 0 a t = 1 , temos:
z(t) = t + i t onde t in [0, 1]
Então, dz = (1 + i) dt .
Substituindo na integral:
integralC' f(z) dz = integral0^1 f(z(t)) cdot dz(t)

Passo 6

Vamos substituir f(z) na integral:
f(z(t)) = (t^2 - t^2) + i(2 t cdot t + beta) = 0 + i(2 t^2 + beta) = i(2 t^2 + beta)
Então:
integralC' f(z) dz = integral0^1 i(2 t^2 + beta) cdot (1 + i) dt

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
i(2 t^2 + beta)(1 + i) = i(2 t^2 + beta) + i^2(2 t^2 + beta) = i(2 t^2 + beta) - (2 t^2 + beta)
Então:
integralC' f(z) dz = integral0^1 [i(2 t^2 + beta) - (2 t^2 + beta)] dt

Passo 8

Vamos separar a integral em partes reais e imaginárias:
integral0^1 [ - (2 t^2 + beta) ] dt = - integral0^1 (2 t^2 + beta) dt
e
integral0^1 i(2 t^2 + beta) dt = i integral0^1 (2 t^2 + beta) dt
Calculando cada uma:
- integral0^1 (2 t^2 + beta) dt = - [ 23 t^3 + beta t ]0^1 = - ( 23 + beta )
e
i integral0^1 (2 t^2 + beta) dt = i [ 23 t^3 + beta t ]0^1 = i ( 23 + beta )

Passo 9

Juntando as partes real e imaginária:
integralC' f(z) dz = - ( 23 + beta ) + i ( 23 + beta ) = ( -1 + i ) ( 23 + beta )
Sabemos que:
integralC' f(z) dz = 23(i - 1)
Então, igualando:
( -1 + i ) ( 23 + beta ) = 23(i - 1)

Passo 10

Percebemos que os fatores multiplicativos são iguais, então:
23 + beta = 23
Portanto:
beta = 23 - 23 = 0

Resposta

O valor de beta é 0 .

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