Seja f(x) uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(4.53). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios Lk(x), o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(4.53). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x 1.1 1.5 3.2 4.7 5.2 5.4
f(x) -4.72 -5.05 2.08 .029 -4.94 -1.04

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar interpolação de Lagrange de grau 3 pra aproximar o valor de f(4.53) a partir de uma tabela de valores de f. Isso faz parte do tópico “Interpolação Polinomial” e, em especial, da “fórmula de Lagrange”.
O que a gente vai precisar:
  1. Escolher quatro pontos mais próximos de x=4.53 na tabela.
  2. Construir os polinômios base .
  3. Montar o polinômio interpolador .
  4. Avaliar e arredondar a 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro escolhemos os quatro pontos com (x0,f0)=(3.2,,2.08), (x1,f1)=(4.7,,0.029), (x2,f2)=(5.2,,-4.94), (x3,f3)=(5.4,,-1.04) mais próximos de 4.53:
Por quê? Porque num polinômio de grau 3 a gente só usa 4 pontos, e faz sentido pegar os mais próximos para ter melhor aproximação local.

Passo 3

A teoria diz que o polinômio de Lagrange é
P3(x)=sumk=0^3 fk,Lk(x),
onde cada base Lk(x)=prodsubstackj=0jneq k^3x - xjxk - xj é
Isso garante que (1 se , 0 caso contrário).

Passo 4

Vamos calcular os denominadores de cada :
Denominadores gerais .
  • Para (com ):
    .
  • Para ( ):
    .
  • Para ( ):
    .
  • Para ( ):
    .

Passo 5

Agora escrevemos cada L0(x)&=(x-4.7)(x-5.2)(x-5.4)-6.6, L1(x)&=(x-3.2)(x-5.2)(x-5.4)0.525, L2(x)&=(x-3.2)(x-4.7)(x-5.4)-0.2, L3(x)&=(x-3.2)(x-4.7)(x-5.2)0.308 :

Passo 6

O polinômio interpolador fica
P3(x)=2.08,L0(x);+;0.029,L1(x);-;4.94,L2(x);-;1.04,L3(x)

Passo 7

Agora avaliamos em L0(4.53)&approx 0.0150, L1(4.53)&approx 1.4767, L2(4.53)&approx -0.9835, L3(4.53)&approx 0.4929 .
Calculei cada com 4 casas decimais:
Veja que a soma dá quase 1, como deve acontecer.

Passo 8

Por fim,
P3(4.53) =2.08cdot0.0150 ;+;0.029cdot1.4767 ;-;4.94cdot(-0.9835) ;-;1.04cdot0.4929 approx 4.4199

Resposta

A aproximação de boxedf(4.53)approx 4.4199 pelo polinômio de Lagrange de grau 3 é

Exercícios relacionados