Seja
uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(4.53). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios
, o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(4.53). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
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1.1 | 1.5 | 3.2 | 4.7 | 5.2 | 5.4 |
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-4.72 | -5.05 | 2.08 | .029 | -4.94 | -1.04 |
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é usar interpolação de Lagrange de grau 3 pra aproximar o valor de f(4.53) a partir de uma tabela de valores de f. Isso faz parte do tópico “Interpolação Polinomial” e, em especial, da “fórmula de Lagrange”.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Escolher quatro pontos mais próximos de x=4.53 na tabela.
- Construir os polinômios base
. - Montar o polinômio interpolador
. - Avaliar
e arredondar a 4 casas decimais.
Passo 2
Primeiro escolhemos os quatro pontos com
mais próximos de 4.53:
Por quê? Porque num polinômio de grau 3 a gente só usa 4 pontos, e faz sentido pegar os mais próximos para ter melhor aproximação local.
Passo 3
A teoria diz que o polinômio de Lagrange é
onde cada base
é
Isso garante que
(1 se
, 0 caso contrário).
Passo 4
Vamos calcular os denominadores de cada
:
Denominadores gerais .
Denominadores gerais
- Para
(com ):
. - Para
( ):
. - Para
( ):
. - Para
( ):
.
Passo 5
Agora escrevemos cada
:
Passo 6
O polinômio interpolador fica
Passo 7
Agora avaliamos em
.
Calculei cada com 4 casas decimais:
Calculei cada
Veja que a soma dá quase 1, como deve acontecer.
Passo 8
Por fim,
Resposta
A aproximação de
pelo polinômio de Lagrange de grau 3 é