Seja f(x) uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(3.99). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios Lk(x), o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(3.99). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x 2.3 2.7 3.4 3.8 4 5
f(x) 2.21 5.22 -4.18 2.67 4.42 -2.99

Passo 1

Resumo da questão: a gente tem uma função f(x) tabulada em seis pontos (x=2.3, 2.7, 3.4, 3.8, 4, 5) e quer aproximar f(3.99) usando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3.
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que vamos precisar:
  1. escolher quatro pontos próximos de 3.99 (eu uso x₀=3.4, x₁=3.8, x₂=4.0, x₃=5.0),
  2. montar os polinômios base Lₖ(x),
  3. avaliar cada Lₖ em x=3.99,
  4. somar f(xₖ)·Lₖ(3.99).

Passo 2

Definindo os polinômios de base Lₖ(x) (grau 3) para k=0,1,2,3:
L₀(x) =
(x-3.8),(x-4.0),(x-5.0)(3.4-3.8),(3.4-4.0),(3.4-5.0)
L₁(x) =
(x-3.4),(x-4.0),(x-5.0)(3.8-3.4),(3.8-4.0),(3.8-5.0)
L₂(x) =
(x-3.4),(x-3.8),(x-5.0)(4.0-3.4),(4.0-3.8),(4.0-5.0)
L₃(x) =
(x-3.4),(x-3.8),(x-4.0)(5.0-3.4),(5.0-3.8),(5.0-4.0)

Passo 3

Calcular os denominadores (já arredondados a 4 casas):
d₀ = (3.4−3.8)(3.4−4.0)(3.4−5.0) = (−0.4)(−0.6)(−1.6) = −0.3840
d₁ = (3.8−3.4)(3.8−4.0)(3.8−5.0) = (0.4)(−0.2)(−1.2) = 0.0960
d₂ = (4.0−3.4)(4.0−3.8)(4.0−5.0) = (0.6)(0.2)(−1.0) = −0.1200
d₃ = (5.0−3.4)(5.0−3.8)(5.0−4.0) = (1.6)(1.2)(1.0) = 1.9200

Passo 4

Avaliar Lₖ em x=3.99 (numerador também em 4 casas, depois dividimos e arredondamos):
n₀ = (3.99−3.8)(3.99−4.0)(3.99−5.0) = 0.19·(−0.01)·(−1.01) = 0.001919 →
L₀(3.99)=0.001919/(−0.3840)= −0.0050
n₁ = (3.99−3.4)(3.99−4.0)(3.99−5.0) = 0.59·(−0.01)·(−1.01) = 0.005959 →
L₁(3.99)=0.005959/ 0.0960 = 0.0621
n₂ = (3.99−3.4)(3.99−3.8)(3.99−5.0) = 0.59·0.19·(−1.01) = −0.113221 →
L₂(3.99)=−0.113221/(−0.1200)= 0.9435
n₃ = (3.99−3.4)(3.99−3.8)(3.99−4.0) = 0.59·0.19·(−0.01) = −0.001121 →
L₃(3.99)=−0.001121/ 1.9200 = −0.0006
Confere que L₀+L₁+L₂+L₃ ≈ 1.0000 (bom sinal!).

Passo 5

Polinômio interpolador de grau 3:
P3(x) ;=; f(3.4),L0(x);+;f(3.8),L1(x);+;f(4.0),L2(x);+;f(5.0),L3(x)
Substituindo f(3.4)=−4.18, f(3.8)=2.67, f(4.0)=4.42, f(5.0)=−2.99, e avaliando em x=3.99:
P3(3.99) = (-4.18)(-0.0050)+(2.67)(0.0621)+(4.42)(0.9435)+(-2.99)(-0.0006)

Passo 6

Calculando cada termo (4 casas e arredondando):
(−4.18)(−0.0050)= 0.0209
(2.67)( 0.0621)= 0.1658
(4.42)( 0.9435)= 4.1713
(−2.99)(−0.0006)= 0.0018
Somando: 0.0209+0.1658+4.1713+0.0018 = 4.3598

Resposta

Aproximação para f(3.99) pelo polinômio de Lagrange de grau 3:
boxedf(3.99)approx 4.3598

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