Seja
uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(3.99). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios
, o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(3.99). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x | 2.3 | 2.7 | 3.4 | 3.8 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
2.21 | 5.22 | -4.18 | 2.67 | 4.42 | -2.99 |
Passo 1
Resumo da questão: a gente tem uma função f(x) tabulada em seis pontos (x=2.3, 2.7, 3.4, 3.8, 4, 5) e quer aproximar f(3.99) usando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3.
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que vamos precisar:
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que vamos precisar:
- escolher quatro pontos próximos de 3.99 (eu uso x₀=3.4, x₁=3.8, x₂=4.0, x₃=5.0),
- montar os polinômios base Lₖ(x),
- avaliar cada Lₖ em x=3.99,
- somar f(xₖ)·Lₖ(3.99).
Passo 2
Definindo os polinômios de base Lₖ(x) (grau 3) para k=0,1,2,3:
L₀(x) =
L₀(x) =
L₁(x) =
L₂(x) =
L₃(x) =
Passo 3
Calcular os denominadores (já arredondados a 4 casas):
d₀ = (3.4−3.8)(3.4−4.0)(3.4−5.0) = (−0.4)(−0.6)(−1.6) = −0.3840
d₁ = (3.8−3.4)(3.8−4.0)(3.8−5.0) = (0.4)(−0.2)(−1.2) = 0.0960
d₂ = (4.0−3.4)(4.0−3.8)(4.0−5.0) = (0.6)(0.2)(−1.0) = −0.1200
d₃ = (5.0−3.4)(5.0−3.8)(5.0−4.0) = (1.6)(1.2)(1.0) = 1.9200
d₀ = (3.4−3.8)(3.4−4.0)(3.4−5.0) = (−0.4)(−0.6)(−1.6) = −0.3840
d₁ = (3.8−3.4)(3.8−4.0)(3.8−5.0) = (0.4)(−0.2)(−1.2) = 0.0960
d₂ = (4.0−3.4)(4.0−3.8)(4.0−5.0) = (0.6)(0.2)(−1.0) = −0.1200
d₃ = (5.0−3.4)(5.0−3.8)(5.0−4.0) = (1.6)(1.2)(1.0) = 1.9200
Passo 4
Avaliar Lₖ em x=3.99 (numerador também em 4 casas, depois dividimos e arredondamos):
n₀ = (3.99−3.8)(3.99−4.0)(3.99−5.0) = 0.19·(−0.01)·(−1.01) = 0.001919 →
L₀(3.99)=0.001919/(−0.3840)= −0.0050
n₀ = (3.99−3.8)(3.99−4.0)(3.99−5.0) = 0.19·(−0.01)·(−1.01) = 0.001919 →
L₀(3.99)=0.001919/(−0.3840)= −0.0050
n₁ = (3.99−3.4)(3.99−4.0)(3.99−5.0) = 0.59·(−0.01)·(−1.01) = 0.005959 →
L₁(3.99)=0.005959/ 0.0960 = 0.0621
L₁(3.99)=0.005959/ 0.0960 = 0.0621
n₂ = (3.99−3.4)(3.99−3.8)(3.99−5.0) = 0.59·0.19·(−1.01) = −0.113221 →
L₂(3.99)=−0.113221/(−0.1200)= 0.9435
L₂(3.99)=−0.113221/(−0.1200)= 0.9435
n₃ = (3.99−3.4)(3.99−3.8)(3.99−4.0) = 0.59·0.19·(−0.01) = −0.001121 →
L₃(3.99)=−0.001121/ 1.9200 = −0.0006
L₃(3.99)=−0.001121/ 1.9200 = −0.0006
Confere que L₀+L₁+L₂+L₃ ≈ 1.0000 (bom sinal!).
Passo 5
Polinômio interpolador de grau 3:
Substituindo f(3.4)=−4.18, f(3.8)=2.67, f(4.0)=4.42, f(5.0)=−2.99, e avaliando em x=3.99:
Passo 6
Calculando cada termo (4 casas e arredondando):
(−4.18)(−0.0050)= 0.0209
(2.67)( 0.0621)= 0.1658
(4.42)( 0.9435)= 4.1713
(−2.99)(−0.0006)= 0.0018
(−4.18)(−0.0050)= 0.0209
(2.67)( 0.0621)= 0.1658
(4.42)( 0.9435)= 4.1713
(−2.99)(−0.0006)= 0.0018
Somando: 0.0209+0.1658+4.1713+0.0018 = 4.3598
Resposta
Aproximação para f(3.99) pelo polinômio de Lagrange de grau 3: