Seja f(x) uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(2.21). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios Lk(x), o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(2.21). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x 1.9 3.1 3.8 4.3 5.7 5.8
f(x) -2.4 -5.05 4.87 0.66 -5.14 5.69

Passo 1

Beleza, aqui a parada é aproximar o valor de (x1,f1)=(1.9,-2.4), (x2,f2)=(3.1,-5.05), (x3,f3)=(3.8,4.87), (x4,f4)=(4.3,0.66) usando um polinômio de Lagrange de grau 3. A teoria diz que, pra um grau 3, a gente escolhe quatro pontos da tabela mais próximos de . Aqui vão os pontos que vamos usar:
O que precisamos:
  • Saber a fórmula geral do polinômio de Lagrange de grau 3.
  • Montar os polinômios base .
  • Avaliar tudo em .

Passo 2

Definindo os polinômios base L1(x)= (x-x2)(x-x3)(x-x4) (x1-x2)(x1-x3)(x1-x4) =(x-3.1)(x-3.8)(x-4.3)(-1.2000)(-1.9000)(-2.4000) =(x-3.1)(x-3.8)(x-4.3)-5.4720, (cada um “zera” nos três pontos que não são L2(x)= (x-x1)(x-x3)(x-x4) (x2-x1)(x2-x3)(x2-x4) =(x-1.9)(x-3.8)(x-4.3)(1.2000)(-0.7000)(-1.2000) =(x-1.9)(x-3.8)(x-4.3)1.0080, e vale 1 em L3(x)= (x-x1)(x-x2)(x-x4) (x3-x1)(x3-x2)(x3-x4) =(x-1.9)(x-3.1)(x-4.3)(1.9000)(0.7000)(-0.5000) =(x-1.9)(x-3.1)(x-4.3)-0.6650, ):
L4(x)= (x-x1)(x-x2)(x-x3) (x4-x1)(x4-x2)(x4-x3) =(x-1.9)(x-3.1)(x-3.8)(2.4000)(1.2000)(0.5000) =(x-1.9)(x-3.1)(x-3.8)1.4400

Passo 3

O polinômio de Lagrange de grau 3 é
P3(x) =sumk=1^4fk,Lk(x) =-2.4,L1(x);+;(-5.05),L2(x);+;4.87,L3(x);+;0.66,L4(x)
Agora a gente calcula L1(2.21)&=(2.21-3.1)(2.21-3.8)(2.21-4.3)-5.4720 =(-0.8900)(-1.5900)(-2.0900)-5.4720 =0.5405, L2(2.21)&=(2.21-1.9)(2.21-3.8)(2.21-4.3)1.0080 =(0.3100)(-1.5900)(-2.0900)1.0080 =1.0218, L3(2.21)&=(2.21-1.9)(2.21-3.1)(2.21-4.3)-0.6650 =(0.3100)(-0.8900)(-2.0900)-0.6650 =-0.8667, L4(2.21)&=(2.21-1.9)(2.21-3.1)(2.21-3.8)1.4400 =(0.3100)(-0.8900)(-1.5900)1.4400 =0.3046 (com 4 casas e arredondando):

Passo 4

Finalmente, avaliando f(2.21)approx P3(2.21) &= -2.4,(0.5405);+;(-5.05),(1.0218);+;4.87,(-0.8667);+;0.66,(0.3046) &= -1.2972;-;5.1590;-;4.2198;+;0.2010 &= -10.4750(arred 4 casas) :

Resposta

.

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