Seja f uma função tal que
lll x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x <= f(x) <= x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 & para & x<-1 x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 <= f(x) <= x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x & para & x>-1
Determine os limites abaixo, caso seja possível.
lim x 1 f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá duas desigualdades que “prendem” f(x) entre dois polinômios, mudando de papel em x=-1. Queremos
limxto 1f(x).
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche): se duas funções que apertam uma terceira têm o mesmo limite num ponto, então a função intermediária tem esse limite.

Passo 2

Como 1>-1, para x perto de 1 vale
x^4-4x^3+x^2+4x-4 ;<=; f(x);<=; x^5-4x^4+3x^3+2x^2-4x
Portanto, basta calcular o limite à esquerda e o limite à direita dessa desigualdade quando xto1.

Passo 3

Calculemos o limite do polinômio inferior
L(x)=x^4-4x^3+x^2+4x-4
Substituindo x=1 obtemos
L(1)=1-4+1+4-4=-2

Passo 4

Calculemos o limite do polinômio superior
U(x)=x^5-4x^4+3x^3+2x^2-4x
Substituindo x=1 obtemos
U(1)=1-4+3+2-4=-2

Passo 5

Como
limxto1L(x)=-2 e limxto1U(x)=-2,
e L(x)<= f(x)<= U(x) para x próximo de 1, pelo Teorema do Confronto segue que
limxto1f(x)=-2

Resposta

-2

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