- Seja
uma função tal que
para todo
x in R . Mostre que
f é derivável em
p=0 e calcule
f^prime(0) .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
f:RtoR satisfazendo
para todo
x . Queremos mostrar que
f é derivável em
p=0 e calcular
f'(0) . Para isso, vamos usar a definição de derivada:
Passo 2
Primeiro, avaliando a desigualdade em
x=0 temos
logo
Passo 3
Para estudar a existência do limite
limxto0l[f(x)-f(0)r]/x = limxto0f(x)/x ,
usamos a desigualdade dada, dividindo por|x| (para
xneq0 ):
usamos a desigualdade dada, dividindo por
À medida que
xto0 , temos
|x|to0 e
|x+1|to1 , portanto
Pelo critério do sanduíche, segue que
Passo 4
Como o limite do quociente de diferenças existe e é finito, concluímos que
f é derivável em
0 e