1. Seja f: R R uma função tal que |f(x)| <=|x^3+x^2| para todo x in R. Mostre que f é derivável em p=0 e calcule f^prime(0).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:RtoR satisfazendo
|f(x)| <= |x^3 + x^2|
para todo x. Queremos mostrar que f é derivável em p=0 e calcular f'(0). Para isso, vamos usar a definição de derivada:
f'(0) = limxto0f(x)-f(0)x

Passo 2

Primeiro, avaliando a desigualdade em x=0 temos
|f(0)| <= |0^3 + 0^2| = 0,
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f(0) = 0

Passo 3

Para estudar a existência do limite
limxto0l[f(x)-f(0)r]/x = limxto0f(x)/x,
usamos a desigualdade dada, dividindo por |x| (para xneq0):
|f(x)x| <= |x^3 + x^2||x| = |x^2 + x| = |x|,|x+1|
À medida que xto0, temos |x|to0 e |x+1|to1, portanto
|x|,|x+1|;xrightarrow[xto0];0
Pelo critério do sanduíche, segue que
limxto0f(x)x = 0

Passo 4

Como o limite do quociente de diferenças existe e é finito, concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0) = 0

Resposta

f é derivável em p=0 e f'(0)=0.

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