Seja f(x) uma função tal que f: R R, com as seguintes características:
f(a)+f(b)=f(a b) f(1)=0 f(2025)=1
Sabendo que f(k)=0,5 é correto afirmar que raizk é igual a:

Passo 1

Então, o exercício diz que temos uma função real f(a)+f(b)=f(acdot b), f(1)=0, f(2025)=1, que satisfaz
ln(acdot b)=ln a+ln b
e pergunta: “Se , quanto vale ?”
O conteúdo aqui é equações funcionais do tipo “soma vira produto”, que nos leva direto à ideia de logaritmos. A gente vai precisar lembrar da propriedade
e da forma geral da solução .

Passo 2

Pela condição
f(a)+f(b)=f(acdot b),
a gente nota que quem faz f(x)=Cln x, . Logo, a solução mais “natural” é
f(a)+f(b)=Cln a + Cln b = Cln(a b) = f(a b)
porque aí

Passo 3

Agora usamos Cln(2025)=1 Longrightarrow C=1ln(2025) . Substituindo na forma :

Passo 4

Queremos f(k)=Cln k = 0,5 Longrightarrow 1ln(2025);ln k = tfrac12 Longrightarrow ln k = tfrac12,ln(2025) tal que k = e^12,ln(2025) = raiz2025 = 45 . Então:
Elevando em ambos os lados:

Passo 5

Finalmente, a pergunta pede raizk = raiz45 = 3raiz5 . Como , temos

Resposta

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