Seja f(x) uma função tal que f: R R, com as seguintes características:
f(a) cdot f(b)=f(a+b) f(0)=1 f(3,5)=2^10 raiz2
Determine o valor de f(0,16666 ldots)
a) 2^10 raiz3
d) raiz2
e) raiz8
b) 103
c) 2 raiz30

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que a questão pede. Temos uma função que satisfaz:
  1. (isso é tipo uma “regra de produto vira soma”),
  2. ,
  3. .
Conteúdo envolvido: função exponencial (essa relação de nos leva a pensar que para algum ).
O que vamos precisar: entender por que essa forma funciona e achar usando o valor dado em . Depois, calcular o valor em (que é ).

Passo 2

Por que a forma ?
Teoria: sempre que uma função satisfaz e é razoavelmente “bonitinha” (contínua, etc.), ela é da forma exponencial. É fácil ver: se definirmos , então para inteiros e, com continuidade, estende a racionais e reais.

Passo 3

Vamos achar o f(3,5)=c^3,5=2^10raiz2 .
Sabemos que
c^72=2^212 Longrightarrow c = 2^21/27/2 = 2^3 = 8
Escreve e .
Então

Passo 4

Agora que a gente descobriu f(x)=8^x , a função é
fl(tfrac16r) =8^16 =(2^3)^16 =2^36 =2^12 =raiz2
Vamos calcular . Esse número é . Então

Resposta

.

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