Seja , uma função vetorial e uma função real bijetora, ambas regulares e de classe . A curva
é chamada de reparametrização de . Se for crescente para , diremos que a reparametrização preserva orientação; se é decrescente ( para , dizemos que a reparametrização inverte orientação. Mostre que
O comprimento de é igual ao comprimento de .
Represente a situação geometricamente.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma curva parametrizada de classe e regular (), e uma bijeção também de classe com . Definimos a reparametrização
O que queremos mostrar é que o comprimento de arco de coincide com o de , independentemente de ser crescente ou decrescente. Para isso vamos usar a regra da cadeia e a troca de variável em integrais.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia, obtemos
Como comprimento de arco é dado por
temos
l|alpha'(t)r| =l|r'(f(t))r|;l|f'(t)r|
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L(alpha) =integralc^dl|r'(f(t))r|;l|f'(t)r|,dt
Passo 3
Agora fazemos a troca de variável u=f(t).
Se f é crescente (f'(t)>0), então l|f'(t)r|=f'(t) e du=f'(t),dt. Assim
pois ao trocar os limites a integral muda de sinal mais uma vez.
Passo 4
Concluímos que, em ambos os casos,
L(alpha)=L(r)
Passo 5
Geometricamente, alpha percorre exatamente o mesmo traçado que r, só que com “ritmo” (velocidade) diferente e, se f'<0, no sentido inverso. Em outras palavras, o conjunto imagem r(t)colon tin[a,b] coincide com alpha(t)colon tin[c,d], e a orientação é preservada ou invertida conforme o sinal de f'.
Resposta
O comprimento de arco de r é igual ao comprimento de arco de alpha: