Seja r(t), t in[a, b], uma função vetorial e f:[c, d] [a, b] uma função real bijetora, ambas regulares e de classe C^1. A curva
alpha(t)=r(f(t)), t in[c, d],
é chamada de reparametrização de r(t). Se f for crescente (f^prime(t)>0 para t in[c, d]), diremos que a reparametrização preserva orientação; se f é decrescente ( f^prime(t)<0 para t in[c, d]), dizemos que a reparametrização inverte orientação. Mostre que
O comprimento de r é igual ao comprimento de alpha.
Represente a situação geometricamente.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma curva parametrizada rcolon[a,b]toR^n de classe C^1 e regular ( r'(t)neq0), e uma bijeção fcolon[c,d]to[a,b] também de classe C^1 com f'(t)neq0. Definimos a reparametrização
alpha(t)=rl(f(t)r), tin[c,d]
O que queremos mostrar é que o comprimento de arco de alpha coincide com o de r, independentemente de f ser crescente ou decrescente. Para isso vamos usar a regra da cadeia e a troca de variável em integrais.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, obtemos
alpha'(t)=r'l(f(t)r),f'(t)
Como comprimento de arco é dado por
L(alpha)=integralc^dl|alpha'(t)r|,dt,
temos
l|alpha'(t)r| =l|r'(f(t))r|;l|f'(t)r|
Logo
L(alpha) =integralc^dl|r'(f(t))r|;l|f'(t)r|,dt

Passo 3

Agora fazemos a troca de variável u=f(t).
  1. Se f é crescente ( f'(t)>0), então l|f'(t)r|=f'(t) e du=f'(t),dt. Assim
L(alpha) =integralc^dl|r'(f(t))r|,f'(t),dt =integralu=f(c)=a^u=f(d)=bl|r'(u)r|,du =L(r)
  1. Se f é decrescente ( f'(t)<0), então l|f'(t)r|=-f'(t) e du=f'(t),dt. Logo
L(alpha) =integralc^dl|r'(f(t))r|l(-f'(t)r),dt =integralu=a^u=bl|r'(u)r|,du =L(r),
pois ao trocar os limites a integral muda de sinal mais uma vez.

Passo 4

Concluímos que, em ambos os casos,
L(alpha)=L(r)

Passo 5

Geometricamente, alpha percorre exatamente o mesmo traçado que r, só que com “ritmo” (velocidade) diferente e, se f'<0, no sentido inverso. Em outras palavras, o conjunto imagem r(t)colon tin[a,b] coincide com alpha(t)colon tin[c,d], e a orientação é preservada ou invertida conforme o sinal de f'.

Resposta

O comprimento de arco de r é igual ao comprimento de arco de alpha:
integrala^bl|r'(t)r|,dt =integralc^dl|alpha'(t)r|,dt
Geometricamente, ambas as curvas traçam o mesmo caminho no espaço, variando apenas a velocidade e, se f'(t)<0, invertendo a orientação.

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