Seja r(t), t in[a, b], uma função vetorial e f:[c, d] [a, b] uma função real bijetora, ambas regulares e de classe C^1. A curva
alpha(t)=r(f(t)), t in[c, d],
é chamada de reparametrização de r(t). Se f for crescente (f^prime(t)>0 para t in[c, d]), diremos que a reparametrização preserva orientação; se f é decrescente ( f^prime(t)<0 para t in[c, d]), dizemos que a reparametrização inverte orientação. Mostre que
A derivada de r é paralela à derivada de alpha.
Represente a situação geometricamente.

Passo 1

O enunciado fala de uma curva original r(t), tin[a,b], e de sua reparametrização
alpha(t)=rl(f(t)r), tin[c,d],
onde f:[c,d]to[a,b] é bijetora, C^1 e regular ( f'(t)neq0). Queremos mostrar que a derivada de r é sempre paralela à derivada de alpha, e entender geometricamente o que isso significa em termos de tangentes e orientação.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para derivar alpha. Para todo tin[c,d],
alpha'(t) =ddtl[r(f(t))r] =r'l(f(t)r),underbracef'(t)escala,
ou seja,
alpha'(t)=f'(t);r'l(f(t)r)
Como f'(t) é um número real não nulo, alpha'(t) é simplesmente o vetor r'l(f(t)r) multiplicado por um escalar. Dois vetores ligados por múltiplo escalar são paralelos.

Passo 3

Geometricamente, em cada ponto da curva (digamos P=r(u) com u=f(t)), a tangente à curva original é dada por r'(u). Na reparametrização, o ponto correspondente é o mesmo P=alpha(t), e sua tangente é alpha'(t)=f'(t),r'(u). Portanto:
  • A linha tangente não muda, pois ambos os vetores estão sobre a mesma reta.
  • Se f'(t)>0, a seta de alpha'(t) aponta no mesmo sentido de r'(u) (orientação preservada).
  • Se f'(t)<0, a seta de alpha'(t) aponta no sentido oposto (orientação invertida).

Resposta

alpha'(t)=f'(t),r'l(f(t)r),
logo alpha'(t) e r'l(f(t)r) são paralelos, com orientação coincidente se f'(t)>0 e invertida se f'(t)<0.

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