Seja , uma função vetorial e uma função real bijetora, ambas regulares e de classe . A curva
é chamada de reparametrização de . Se for crescente para , diremos que a reparametrização preserva orientação; se é decrescente ( para , dizemos que a reparametrização inverte orientação. Mostre que
A derivada de é paralela à derivada de .
Represente a situação geometricamente.
Passo 1
O enunciado fala de uma curva original , , e de sua reparametrização
onde é bijetora, e regular (). Queremos mostrar que a derivada de é sempre paralela à derivada de , e entender geometricamente o que isso significa em termos de tangentes e orientação.
Passo 2
Usamos a regra da cadeia para derivar . Para todo ,
ou seja,
alpha'(t)=f'(t);r'l(f(t)r)
Como f'(t) é um número real não nulo, alpha'(t) é simplesmente o vetor r'l(f(t)r) multiplicado por um escalar. Dois vetores ligados por múltiplo escalar são paralelos.
Passo 3
Geometricamente, em cada ponto da curva (digamos P=r(u) com u=f(t)), a tangente à curva original é dada por r'(u). Na reparametrização, o ponto correspondente é o mesmo P=alpha(t), e sua tangente é alpha'(t)=f'(t),r'(u). Portanto:
A linha tangente não muda, pois ambos os vetores estão sobre a mesma reta.
Se f'(t)>0, a seta de alpha'(t) aponta no mesmo sentido de r'(u) (orientação preservada).
Se f'(t)<0, a seta de alpha'(t) aponta no sentido oposto (orientação invertida).
Resposta
alpha'(t)=f'(t),r'l(f(t)r),
logo alpha'(t) e r'l(f(t)r) são paralelos, com orientação coincidente se f'(t)>0 e invertida se f'(t)<0.