Seja r(t), t in[a, b], uma função vetorial e f:[c, d] [a, b] uma função real bijetora, ambas regulares e de classe C^1. A curva
alpha(t)=r(f(t)), t in[c, d],
é chamada de reparametrização de r(t). Se f for crescente (f^prime(t)>0 para t in[c, d]), diremos que a reparametrização preserva orientação; se f é decrescente ( f^prime(t)<0 para t in[c, d]), dizemos que a reparametrização inverte orientação. Mostre que
(a) O comprimento de r é igual ao comprimento de alpha.
(b) A derivada de r é paralela à derivada de $\alpha.

Passo 1

O enunciado define uma curva regular r:[a,b]toR^n e uma bijeção f:[c,d]to[a,b], ambas de classe C^1, e a reparametrização
alpha(t)=rl(f(t)r), tin[c,d]
Precisamos mostrar dois pontos:
(a) o comprimento de arco de r em [a,b] coincide com o de alpha em [c,d], e
(b) os vetores r'(t) e alpha'(t) são paralelos.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para obter a derivada de alpha. Para todo tin[c,d],
alpha'(t) =ddtl[rl(f(t)r)r] =r'l(f(t)r),f'(t)

Passo 3

Da expressão alpha'(t)=r'(f(t)),f'(t) vemos que alpha'(t) é um múltiplo escalar de r'l(f(t)r). Como f'(t)neq0, a direção de alpha'(t) coincide com a de r', isto é, são vetores paralelos.

Passo 4

O comprimento de r em [a,b] é
Lr=integrala^bl|r'(u)r|,du,
e o comprimento de alpha em [c,d] é
Lalpha=integralc^dl|alpha'(t)r|,dt

Passo 5

Substituindo |alpha'(t)|=l|f'(t)r|;l|r'(f(t))r| em Lalpha e usando a mudança de variável
u=f(t),
temos
Lalpha =integralc^dl|f'(t)r|;l|r'(f(t))r|,dt =integrala^bl|r'(u)r|,du =Lr
Se f é crescente, l|f'(t)r|=f'(t) e os limites mudam naturalmente; se for decrescente, l|f'(t)r|=-f'(t) e a inversão dos extremos de integração corrige o sinal.

Resposta

(a) Lr = Lalpha.
(b) alpha'(t) é paralelo a r'l(f(t)r), pois alpha'(t)=f'(t),r'(f(t)).

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