Seja , uma função vetorial e uma função real bijetora, ambas regulares e de classe . A curva
é chamada de reparametrização de . Se for crescente para , diremos que a reparametrização preserva orientação; se é decrescente ( para , dizemos que a reparametrização inverte orientação. Mostre que
(a) O comprimento de é igual ao comprimento de .
(b) A derivada de é paralela à derivada de $\alpha.
Passo 1
O enunciado define uma curva regular e uma bijeção , ambas de classe , e a reparametrização
Precisamos mostrar dois pontos:
(a) o comprimento de arco de em coincide com o de em , e
(b) os vetores e são paralelos.
Passo 2
Usamos a regra da cadeia para obter a derivada de . Para todo ,
Passo 3
Da expressão vemos que é um múltiplo escalar de . Como , a direção de coincide com a de , isto é, são vetores paralelos.
Passo 4
O comprimento de em é
e o comprimento de alpha em [c,d] é
Lalpha=integralc^dl|alpha'(t)r|,dt
Passo 5
Substituindo |alpha'(t)|=l|f'(t)r|;l|r'(f(t))r| em Lalpha e usando a mudança de variável
Se f é crescente, l|f'(t)r|=f'(t) e os limites mudam naturalmente; se for decrescente, l|f'(t)r|=-f'(t) e a inversão dos extremos de integração corrige o sinal.
Resposta
(a) Lr = Lalpha.
(b) alpha'(t) é paralelo a r'l(f(t)r), pois alpha'(t)=f'(t),r'(f(t)).