Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F d r. Em cada caso C é orientada no sentido anti horário quando vista de cima.
F(x, y, z)=y z i+2 x z j+e^x 2 k, C é a circunferência x^2+y^2=16, z=5;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCFcdot d r
onde
F(x,y,z)=yz,i+2xz,j+e^x^2,k
e C é a circunferência x^2+y^2=16 no plano z=5, orientada no sentido anti-horário vista de cima.
O conteúdo usado será o Teorema de Stokes, que diz
ointCFcdot d r ;=;integral duplaS(nablatimes F)cdot hat n,dS,
onde S é qualquer superfície com fronteira C e hat n é o versor normal coerente com a orientação de C.

Passo 2

Escolhemos como superfície S o disco plano
S=(x,y,5)mid x^2+y^2<=16,
cuja fronteira é exatamente C. Como C é percorrida no sentido anti-horário vista de cima, o versor normal hat n aponta para cima, ou seja
hat n=k

Passo 3

Calculamos o rotacional de F:
nabla times F = i & j & k [6pt] partialx & partialy & partialz [3pt] yz & 2xz & e^x^2 =l(-2x,;y-2x e^x^2,;zr)
Portanto,
(nabla times F) cdot n =l(-2x,;y-2x e^x^2,;zr) cdot (0,0,1) =z ]

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes:
ointCFcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot hat n,dS =integral duplaSz,dS
Como em S temos z=5 constante,
integral duplaSz,dS =5integral duplaSdS =5cdotl(área do disco de raio 4r) =5cdot(16pi) =80pi á

Resposta

80pi

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