Seja uma função vetorial F(r-r^prime)=R onde R=r-r^prime, com r^prime sendo tratado como uma origem constante. Mostre que
nablar times F(r-r^prime)=nablaR times F

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se definirmos R=r-r' com r' constante, então o rotor tomado em relação a r de F(r-r') coincide com o rotor tomado em relação a R de F(R). O conteúdo aqui é cálculo vetorial e uso da regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Definimos a transformação de variáveis
R = r - r',
onde r' é tratado como constante. Em componentes, Ri = ri - r'i.

Passo 3

Pela regra da cadeia para derivadas parciais, como r'i é constante, temos
partialpartial ri = sumj=1^3 partial Rjpartial ri,partialpartial Rj = sumj=1^3 de<aij,partialpartial Rj = partialpartial Ri

Passo 4

O operador nabla em r e em R são
nablar = l(partialr1,partialr2,partialr3r), nablaR = l(partialR1,partialR2,partialR3r)
Pelo resultado do passo anterior, cada partialri pode ser substituída por partialRi.

Passo 5

O rotor em componentes usa a soma com o símbolo de Levi-Civita varepsilonijk:
l(nablartimesF(r-r')r)i = sumj,kvarepsilonijk,partialrjFk(R)
Como partialrj=partialRj, isto vira
sumj,kvarepsilonijk,partialRjFk(R) = l(nablaRtimesF(R)r)i

Resposta

nablartimesF(r-r') ;=;nablaRtimesF(R)

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