Seja uma função vetorial F(r-r^prime)=R onde R=r-r^prime, com r^prime sendo tratado como uma origem constante. Mostre que
nabla(1|r-r^prime|)=nabla(1|R|)=-RR^2=-(r-r^prime|r-r^prime|^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função escalar
phi(r) = 1l|r-r'r|,
Aqui temos uma composição de funções: primeiro definimos o vetor
R = r-r'
(com r' constante) e depois aplicamos a função escalares Rmapsto1/R, onde R=|R|. Vamos usar as regras de derivada de função de função (regra da cadeia) e a fórmula para nabla|R|.

Passo 2

Escrevemos
phi(r) = 1R com R = |R| e R=r-r'
Pela regra da cadeia para o gradiente de uma função unidimensional de R, temos
nablal(1/Rr) =ddRl(1/Rr);nabla R

Passo 3

Calculamos a derivada escalar
ddRl(1Rr) =-1R^2

Passo 4

Agora precisamos de nabla R com R=|R|. Como
R = raizRcdotR,
temos
nabla R =nablal(raizRcdotRr) =12raizRcdotR; nabla(RcdotR) =12R;2,R =RR

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores:
nablal(1Rr) =-1R^2;RR =-RR^3 =-r-r'l|r-r'r|^3

Resposta

nablal(tfrac1|r-r'|r) =-r-r'l|r-r'r|^3

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