Seja uma função vetorial F(r-r^prime)=R onde R=r-r^prime, com r^prime sendo tratado como uma origem constante. Mostre que
nablar cdot F(r-r^prime)=nablaR cdot F onde
nablaR=widehatx partialpartial X+widehaty partialpartial Y+z partialpartial Z

Passo 1

O enunciado define uma função vetorial F de r-r', ou seja,
Fl(r-r'r) =F(R),
onde R=r-r' e r' é constante. Pede-se para mostrar que o divergente calculado em relação a r coincide com o divergente em relação a R. Para isso vamos usar a regra da cadeia em derivadas parciais.

Passo 2

Escrevendo em componentes cartesianas, seja
r=(x,y,z), r'=(x',y',z'), R=(X,Y,Z)=(x-x',,y-y',,z-z')
Como r' é constante, cada coordenada de R varia igual à de r.

Passo 3

Pela regra da cadeia nas derivadas parciais, temos
partialpartial x =partial Xpartial x,partialpartial X +partial Ypartial x,partialpartial Y +partial Zpartial x,partialpartial Z
Mas partial X/partial x=1 e partial Y/partial x=partial Z/partial x=0, logo
partialpartial x =partialpartial X
Analogamente,
partialpartial y =partialpartial Y, partialpartial z =partialpartial Z

Passo 4

O divergente em relação a r é
nablarcdotF =partial Fxpartial x +partial Fypartial y +partial Fzpartial z
Substituindo as igualdades do Passo 3, obtemos
nablarcdotF =partial Fxpartial X +partial Fypartial Y +partial Fzpartial Z =nablaRcdotF

Resposta

nablarcdotF(r-r') =nablaRcdotF

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