Seja
um grupo cíclico. Mostre que
não pode ser escrito como uma união de subgrupos próprios de
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um grupo cíclico e pede para mostrar que
não pode ser escrito como uma união de subgrupos próprios de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é cíclico: existe um elemento gerador tal que . - “Subgrupos próprios” significa subgrupos
tais que (ou seja, é um subgrupo e não é igual a ). - A tarefa é provar que não existe coleção (finita ou infinita) de subgrupos próprios
com
Passo 2
Definições e explicações básicas (para garantir que tudo fique claro):
- Dizer que
é cíclico significa que existe com
Aqui
é chamado de gerador de
, e
denota a multiplicação repetida de
(ou soma repetida no caso aditivo);
pode ser inteiro negativo, zero ou positivo.
- Um subgrupo
de é um subconjunto não vazio de que é fechado sob o produto (ou soma) e inversos. Em particular, se então para todo . - Um subgrupo
que contém um gerador de é igual a : se então, pela propriedade anterior, para todo , logo ; como , obtemos , e então .
Passo 3
Prova por contradição (resolvendo o problema passo a passo):
- Suponha, para obter uma contradição, que exista uma família de subgrupos próprios
tal que
- Como
é gerador de , ele pertence a . Pela igualdade acima, deve pertencer a algum para certo . - Mas então, pelo argumento do Passo 2, se
temos . - Isso contradiz a hipótese de que cada
é próprio (ou seja, ). Logo a hipótese de que é união de subgrupos próprios é falsa.
Passo 4
Conclusão e comentário didático final:
- A contradição mostra que não existe coleção de subgrupos próprios cuja união seja
. - Intuição simples: um gerador de um grupo cíclico não pode estar em nenhum subgrupo próprio, porque se estivesse o subgrupo seria todo o grupo. Portanto qualquer tentativa de cobrir
por subgrupos próprios falha porque os geradores ficam de fora.