Seja G um grupo cíclico. Mostre que G não pode ser escrito como uma união de subgrupos próprios de G.

Passo 1

O enunciado dá que G é um grupo cíclico e pede para mostrar que G não pode ser escrito como uma união de subgrupos próprios de G.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • G é cíclico: existe um elemento gerador g\in G tal que G=\langle g\rangle.
  • “Subgrupos próprios” significa subgrupos H tais que H\subsetneqq G (ou seja, H é um subgrupo e não é igual a G).
  • A tarefa é provar que não existe coleção (finita ou infinita) de subgrupos próprios \{H_i\}_{i\in I} com
G=\bigcup_{i\in I} H_i.

Passo 2

Definições e explicações básicas (para garantir que tudo fique claro):
  • Dizer que G é cíclico significa que existe g\in G com
G=\langle g\rangle=\{g^k \mid k\in\mathbb{Z}\}.
Aqui g é chamado de gerador de G, e g^k denota a multiplicação repetida de g (ou soma repetida no caso aditivo); k pode ser inteiro negativo, zero ou positivo.
  • Um subgrupo H de G é um subconjunto não vazio de G que é fechado sob o produto (ou soma) e inversos. Em particular, se x\in H então x^k\in H para todo k\in\mathbb{Z}.
  • Um subgrupo H que contém um gerador g de G é igual a G: se g\in H então, pela propriedade anterior, g^k\in H para todo k\in\mathbb{Z}, logo \langle g\rangle\subseteq H; como \langle g\rangle=G, obtemos G\subseteq H, e então H=G.

Passo 3

Prova por contradição (resolvendo o problema passo a passo):
  • Suponha, para obter uma contradição, que exista uma família de subgrupos próprios \{H_i\}_{i\in I} tal que
G=\bigcup_{i\in I} H_i.
  • Como g é gerador de G, ele pertence a G. Pela igualdade acima, g deve pertencer a algum H_j para certo j\in I.
  • Mas então, pelo argumento do Passo 2, se g\in H_j temos H_j=G.
  • Isso contradiz a hipótese de que cada H_i é próprio (ou seja, H_j\subsetneqq G). Logo a hipótese de que G é união de subgrupos próprios é falsa.

Passo 4

Conclusão e comentário didático final:
  • A contradição mostra que não existe coleção de subgrupos próprios cuja união seja G.
  • Intuição simples: um gerador de um grupo cíclico não pode estar em nenhum subgrupo próprio, porque se estivesse o subgrupo seria todo o grupo. Portanto qualquer tentativa de cobrir G por subgrupos próprios falha porque os geradores ficam de fora.

Resposta

G não pode ser escrito como união de subgrupos próprios de G.

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