Verifique se o grupo G=(Z12, oplus) é cíclico. Em caso afirmativo, determine todos os geradores do grupo G.

Passo 1

O enunciado define o grupo
G = (Z12,oplus),
isto é, o conjunto dos inteiros módulo 12 com a operação de soma modular.
Queremos verificar se G é cíclico (ou seja, se existe algum elemento cuja geração produza todo o grupo) e, em caso afirmativo, listar todos os geradores.

Passo 2

Lembramos que um grupo finito G é cíclico se existe gin G tal que
lang<= grang<= = G.
No caso de Zn com adição, a ordem de um elemento [k] é dada por
ord([k]) ;=;ngcd(n,k)
Isso decorre do fato de que o menor múltiplo de k que seja congruente a zero módulo n é ngcd(n,k),k.

Passo 3

Aqui n=12, logo
ord([k]) ;=;12gcd(12,k)
Para que [k] gere todo Z12 precisamos de
ord([k])=12 Long<=ftrightarrow 12gcd(12,k)=12 Long<=ftrightarrow gcd(12,k)=1
Portanto, os geradores de Z12 são exatamente as classes de equivalência de k com gcd(12,k)=1.

Resposta

Os únicos k entre 0 e 11 coprimos com 12 são
1,;5,;7,;11
Logo
G é cíclico, e seus >=radores são [1],;[5],;[7] e [11] éíã

Exercícios relacionados