Verifique se o grupo
é cíclico. Em caso afirmativo, determine todos os geradores do grupo
.
Passo 1
O enunciado define o grupo
,
isto é, o conjunto dos inteiros módulo 12 com a operação de soma modular.
Queremos verificar se é cíclico (ou seja, se existe algum elemento cuja geração produza todo o grupo) e, em caso afirmativo, listar todos os geradores.
isto é, o conjunto dos inteiros módulo 12 com a operação de soma modular.
Queremos verificar se
Passo 2
Lembramos que um grupo finito
é cíclico se existe
tal que
.
No caso de com adição, a ordem de um elemento
é dada por
No caso de
Isso decorre do fato de que o menor múltiplo de
que seja congruente a zero módulo
é
.
Passo 3
Aqui
, logo
Para que
gere todo
precisamos de
Portanto, os geradores de
são exatamente as classes de equivalência de
com
.
Resposta
Os únicos
entre
e
coprimos com
são
Logo