Seja G um grupo com 3 elementos. Mostre que G simeq Z3.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um grupo G com 3 elementos. O conteúdo principal envolve teoria de grupos finitos, em especial o teorema de Lagrange, ordem de elemento, grupo cíclico e isomorfismo de grupos.

Passo 2

Escolha um elemento não identidade a in G, ou seja, a neq e. Pelo teorema de Lagrange, a ordem de a divide |G| = 3. Como não pode ser 1 (pois aneq e), concluímos que ord(a) = 3. Portanto a gera G e G é cíclico.

Passo 3

Definimos a aplicação varphi: Z3 to G por varphi([k]) = a^k. Verificamos que é homomorfismo: para quaisquer [k], [l] in Z3,
varphi([k + l]) = a^k + l = a^k cdot a^l = varphi([k]) cdot varphi([l]) e que é bijetiva (injeta em razão de ter domínio e contradomínio de mesma ordem e elemento gerador, e sobrejeta pois a gera G).

Passo 4

Como varphi é homomorfismo bijetivo, segue que é isomorfismo entre Z3 e G.

Resposta

G \simeq \mathbb{Z}_3.

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