Seja
um grupo com 3 elementos. Mostre que
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um grupo
com 3 elementos. O conteúdo principal envolve teoria de grupos finitos, em especial o teorema de Lagrange, ordem de elemento, grupo cíclico e isomorfismo de grupos.
Passo 2
Escolha um elemento não identidade
, ou seja,
. Pelo teorema de Lagrange, a ordem de
divide
. Como não pode ser 1 (pois
), concluímos que
. Portanto
gera
e
é cíclico.
Passo 3
Definimos a aplicação
por
. Verificamos que é homomorfismo: para quaisquer
,
e que é bijetiva (injeta em razão de ter domínio e contradomínio de mesma ordem e elemento gerador, e sobrejeta pois
gera
).
Passo 4
Como
é homomorfismo bijetivo, segue que é isomorfismo entre
e
.
Resposta
G \simeq \mathbb{Z}_3.