Seja
. Mostre que
onde
denota o grupo de permutações e
o grupo das permutações pares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o quociente do grupo simétrico por seu subgrupo alternante é isomorfo ao grupo de duas unidades {1,−1}. O conteúdo envolve teoria de grupos, homomorfismos e o Teorema do Isomorfismo, e vamos precisar da função sinal das permutações.
Passo 2
Definimos a aplicação sinal como um homomorfismo de grupos. Para cada permutação σ∈Sₙ, definimos sinal(σ)=+1 se σ for par e sinal(σ)=−1 se σ for ímpar. Essa função satisfaz sinal(σ·τ)=sinal(σ)·sinal(τ), logo é um homomorfismo de Sₙ em {1,−1}.
Passo 3
Identificamos o núcleo desse homomorfismo. Por definição, núcleo(sign)= {σ∈Sₙ : sinal(σ)=1}. Mas exatamente as permutações de sinal +1 são as permutações pares, ou seja, o próprio Aₙ. Assim temos ker(sign)=Aₙ.
Passo 4
Verificamos que o homomorfismo sinal é sobrejetivo: existe σ∈Sₙ com sinal(σ)=−1 (por exemplo, uma transposição). Logo a imagem de sinal é todo {1,−1}.
Passo 5
Aplicando o Primeiro Teorema de Isomorfismo de Grupos: se φ:G→H é um homomorfismo sobrejetivo com ker(φ)=K, então G/K≅H. Aqui G=Sₙ, H={1,−1} e K=Aₙ. Logo
obtém-se
Sₙ/Aₙ ≅ {1,−1}.
obtém-se
Sₙ/Aₙ ≅ {1,−1}.
Passo 6
Essa é exatamente a isomorfia pedida.
Resposta
Usando o homomorfismo sinal: sinal∶Sₙ→{1,−1} com ker(sinal)=Aₙ e sinal sobrejetivo, pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo temos Sₙ/Aₙ≅{1,−1}.