Seja G um grupo. Então mostre que
Z(G)=a in G: a x=x a, forall x in G
é um subgrupo de G, tal subgrupo é denominado centro de G. Verifique que Z(G) é abeliano.

Passo 1

O enunciado define o centro de um grupo G como
Z(G)=ain G : a,x = x,a,;forall xin G
e pede para mostrarmos que Z(G) é um subgrupo de G e que, além disso, Z(G) é abeliano. Para isso vamos usar o critério de subgrupo (identidade, fechamento e inversos) e depois verificar a comutatividade interna em Z(G).

Passo 2

Mostramos que a identidade e de G está em Z(G). De fato, para todo xin G vale
e,x = x = x,e,
logo ein Z(G).

Passo 3

Mostramos que Z(G) é fechado sob o produto de G. Sejam a,bin Z(G). Então para todo xin G,
(a b),x = a,(b,x) = a,(x,b) = (a,x),b = (x,a),b = x,(a,b)
Assim a bin Z(G).

Passo 4

Mostramos que Z(G) é fechado sob inversos. Seja ain Z(G). Para todo xin G, da igualdade a,x = x,a multiplicamos à esquerda por a^-1 e à direita por a^-1, obtendo
a^-1,(a,x),a^-1 = a^-1,(x,a),a^-1 Longrightarrow x,a^-1 = a^-1,x
Logo a^-1in Z(G).

Passo 5

Dos passos anteriores segue que Z(G) satisfaz identidade, fechamento e inversos, logo é subgrupo de G. Resta ver que é abeliano: se a,bin Z(G), então como b comuta com todo elemento em particular com a, temos
a,b = b,a
Portanto Z(G) é um grupo em que todo par de elementos comuta, ou seja, é abeliano.

Resposta

Z(G) é subgrupo de G e é abeliano.

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