Seja
um grupo. Então mostre que
é um subgrupo de
, tal subgrupo é denominado centro de G. Verifique que
é abeliano.
Passo 1
O enunciado define o centro de um grupo
como
e pede para mostrarmos que
é um subgrupo de
e que, além disso,
é abeliano. Para isso vamos usar o critério de subgrupo (identidade, fechamento e inversos) e depois verificar a comutatividade interna em
.
Passo 2
Mostramos que a identidade
de
está em
. De fato, para todo
vale
logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob o produto de
. Sejam
. Então para todo
,
Assim
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob inversos. Seja
. Para todo
, da igualdade
multiplicamos à esquerda por
e à direita por
, obtendo
Logo
.
Passo 5
Dos passos anteriores segue que
satisfaz identidade, fechamento e inversos, logo é subgrupo de
. Resta ver que é abeliano: se
, então como
comuta com todo elemento em particular com
, temos
Portanto
é um grupo em que todo par de elementos comuta, ou seja, é abeliano.