- Seja G um grupo multiplicativo. Se
, mostre que
é um subgrupo normal de G.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subgrupo normal de
.
O conteúdo é teoria de subgrupos (critério de fechamento, identidade e inverso) e normalidade (fecho por conjugação).
O conteúdo é teoria de subgrupos (critério de fechamento, identidade e inverso) e normalidade (fecho por conjugação).
Passo 2
Mostramos primeiro que
é subgrupo de
pelo critério de um passo (não-vazio, fechado e inversos).
.
porque
, logo
.
. Se
, então
impliquem
ou seja,
.
. Se
, temos
. Multiplicando à esquerda por
e à direita por
dá
logo
.
Portanto
é subgrupo de
.
Passo 3
Agora testamos a normalidade: queremos que para todo
e todo
,
isto é, que
Calculemos o lado esquerdo e o direito:
Para que estes sejam iguais para todo
precisamos de
Isto mostra que
se e somente se
também comuta com
.
Passo 4
Concluímos que
(isto é,
é normal em
) se e somente se todo
comuta com
. Em outras palavras,
Quando
está no centro de
, então
e é claramente normal; caso contrário,
não é normal.