1. Seja G um grupo multiplicativo. Se a in G, mostre que H=x in G mid x a=a x é um subgrupo normal de G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
H ;=;,xin Gmid x,a = a,x
é um subgrupo normal de G.
O conteúdo é teoria de subgrupos (critério de fechamento, identidade e inverso) e normalidade (fecho por conjugação).

Passo 2

Mostramos primeiro que H é subgrupo de G pelo critério de um passo (não-vazio, fechado e inversos).
1. Hneqemptyset porque e,a = a,e, logo ein H.
2. Se x,yin H, então
x,a = a,x e y,a = a,y
impliquem
(xy),a = x,(y,a) = x,(a,y) = (x,a),y = (a,x),y = a,(x,y),
ou seja, xyin H.
3. Se xin H, temos x,a = a,x. Multiplicando à esquerda por x^-1 e à direita por x^-1
a = x^-1,a,x Longrightarrow x^-1,a = a,x^-1,
logo x^-1in H.
Portanto H é subgrupo de G.

Passo 3

Agora testamos a normalidade: queremos que para todo gin G e todo xin H,
g,x,g^-1;in;H,
isto é, que
(g,x,g^-1),a ;=; a,(g,x,g^-1)
Calculemos o lado esquerdo e o direito:
(g,x,g^-1),a = g,x,(g^-1a) e a,(g,x,g^-1) = (a,g),x,g^-1
Para que estes sejam iguais para todo xin H precisamos de
g^-1a = a,g^-1 Long<=ftrightarrow g,a = a,g
Isto mostra que gHg^-1 = H se e somente se g também comuta com a.

Passo 4

Concluímos que
H ;triang<=<=ft; G
(isto é, H é normal em G) se e somente se todo gin G comuta com a. Em outras palavras,
H é normal em G Long<=ftrightarrow g,a = a,g;;forall,gin G Long<=ftrightarrow ain Z(G) é
Quando a está no centro de G, então H=G e é claramente normal; caso contrário, H não é normal.

Resposta

H é sempre subgrupo de G, mas é normal em G se e somente se ain Z(G). Em particular, em geral o centralizador de a não é normal a menos que a pertença ao centro de G.

Exercícios relacionados