Seja g(s, t, u)=C s^{2} t^{3} u^{4}, determine:
\frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial t};

Passo 1

O enunciado define a função
g(s,t,u)=C\,s^{2}t^{3}u^{4}
e pede a derivada parcial mista \displaystyle \frac{\partial^{2}g}{\partial u\,\partial t}.
Vamos usar a regra da potência para derivar primeiro em t e depois em u.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial g}{\partial t}. Como s e u são tratados como constantes, aplicamos a regra \frac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}. Logo,
\frac{\partial g}{\partial t} = C\,s^{2}\,\bigl(3t^{2}\bigr)\,u^{4} =3C\,s^{2}\,t^{2}\,u^{4}.

Passo 3

Agora derivamos \displaystyle \frac{\partial g}{\partial t}=3C\,s^{2}\,t^{2}\,u^{4} em relação a u. Aqui s e t são constantes, e usamos \frac{d}{du}(u^{4})=4u^{3}. Assim,
\frac{\partial}{\partial u}\bigl(3C\,s^{2}\,t^{2}\,u^{4}\bigr) =3C\,s^{2}\,t^{2}\,\bigl(4u^{3}\bigr) =12C\,s^{2}\,t^{2}\,u^{3}.

Resposta

\frac{\partial^{2}g}{\partial u\,\partial t} =12C\,s^{2}\,t^{2}\,u^{3}.

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