Seja G um sólido, cuja superfície S é orientada para fora. Se F(x, y, z)=f(x, y, z) t+g(x, y, z) jmath+h(x, y, z) k, onde f, g e^h têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, em algum conjunto aberto, contendo ^G, e se n for o vetor normal unitário para fora de S, então: integral duplaS F cdot n d S=integral triplaG div F d Vn.
Assinale a alternativa que traz corretamente o nome desse teorema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sólido G com uma superfície S que está “virada para fora”. Temos um campo vetorial F(x, y, z) = f(x, y, z) t + g(x, y, z) jmath + h(x, y, z) k, cujas componentes têm derivadas parciais contínuas. A questão nos mostra uma igualdade envolvendo integrais sobre a superfície S e sobre o volume G. Nosso objetivo é identificar o nome desse teorema. Para resolver, vamos precisar entender o que é a divergência de um campo vetorial e como ela se relaciona com integrais de superfície e de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS. Isso calcula o fluxo do campo F atravessando a superfície S. Aqui, n é o vetor normal unitário que aponta para fora de S, garantindo que estamos medindo o fluxo “para fora” do sólido G.

Passo 3

Agora, a integral de volume integral triplaG div F , dV envolve a divergência de F. A divergência, denotada por div F, é uma medida de quanto o campo F está “saindo” ou “entrando” em cada ponto do espaço. Calculando essa integral, estamos somando essas contribuições em todo o volume G.

Passo 4

A igualdade que o enunciado apresenta relaciona estas duas integrais: o fluxo através da superfície S é igual à integral da divergência no volume G. Esse tipo de relação é a essência de alguns teoremas importantes no cálculo vetorial que conectam integrais de superfície com integrais de volume.

Passo 5

O teorema que estabelece exatamente essa igualdade entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada e a integral da divergência desse campo no volume delimitado pela superfície é conhecido como Teorema da Divergência. Ele também é chamado de Teorema de Gauss, em homenagem a Carl Friedrich Gauss, que o formulou.

Resposta

O teorema descrito é o Teorema da Divergência.

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