Seja
um sólido, cuja superfície
é orientada para fora. Se
, onde
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, em algum conjunto aberto, contendo
, e se
for o vetor normal unitário para fora de
, então:
.
Assinale a alternativa que traz corretamente o nome desse teorema.
Assinale a alternativa que traz corretamente o nome desse teorema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sólido
com uma superfície
que está “virada para fora”. Temos um campo vetorial
, cujas componentes têm derivadas parciais contínuas. A questão nos mostra uma igualdade envolvendo integrais sobre a superfície
e sobre o volume
. Nosso objetivo é identificar o nome desse teorema. Para resolver, vamos precisar entender o que é a divergência de um campo vetorial e como ela se relaciona com integrais de superfície e de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral de superfície
. Isso calcula o fluxo do campo
atravessando a superfície
. Aqui,
é o vetor normal unitário que aponta para fora de
, garantindo que estamos medindo o fluxo “para fora” do sólido
.
Passo 3
Agora, a integral de volume
envolve a divergência de
. A divergência, denotada por
, é uma medida de quanto o campo
está “saindo” ou “entrando” em cada ponto do espaço. Calculando essa integral, estamos somando essas contribuições em todo o volume
.
Passo 4
A igualdade que o enunciado apresenta relaciona estas duas integrais: o fluxo através da superfície
é igual à integral da divergência no volume
. Esse tipo de relação é a essência de alguns teoremas importantes no cálculo vetorial que conectam integrais de superfície com integrais de volume.
Passo 5
O teorema que estabelece exatamente essa igualdade entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada e a integral da divergência desse campo no volume delimitado pela superfície é conhecido como Teorema da Divergência. Ele também é chamado de Teorema de Gauss, em homenagem a Carl Friedrich Gauss, que o formulou.
Resposta
O teorema descrito é o Teorema da Divergência.