★ Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede a derivada
onde depende de e , e e dependem de . - Função dada:
- Dependências de
dadas: - Resultado esperado: uma expressão para
em função de .
Passo 2
Regra da cadeia (ideia e fórmula): quando
depende de
e
e estes dependem de
, a taxa de variação de
em relação a
soma as contribuições de cada caminho (via
e via
). A fórmula é
Aqui
é a derivada de
em relação a
mantendo
constante, e
é a derivada de
em relação a
mantendo
constante.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais
e
.
-
Para
: trate como constante. Diferenciando termo a termo: -
(produto vezes constante ). -
(derivada de é , multiplicada por ).
Portanto
-
-
Para
: trate como constante. Diferenciando: -
. -
.
Portanto
-
Passo 4
Calcular
e
a partir das expressões de
e
.
-
então
pois a derivada de
é
e a constante
some.
-
então
pois a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia com as derivadas parciais e as derivadas de
:
Podemos escrever de forma mais clara:
Passo 6
Substituir
e
. Para organizar, calculo primeiro algumas quantidades auxiliares.
Calcular
e
(aparecem nas combinações):
Agora formo
e
.
-
. Multiplicando termo a termo: -
. Multiplicando:
Passo 7
Voltar para a expressão de
e substituir
e
:
Calcular
:
Calcular
:
Somando termo a termo:
É possível fatorar
em evidência se desejar: