★ Use a Regra da Cadeia para determinar
\mathrm{d} z / \mathrm{d} t ou \mathrm{d} w / \mathrm{d} t.
z=x^{2} y+x y^{2}, \quad x=2+t^{2}, \quad y=1-t^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede a derivada \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} onde z depende de x e y, e x e y dependem de t.
  • Função dada: z = x^{2}y + xy^{2}.
  • Dependências de t dadas: x = 2 + t^{2},\qquad y = 1 - t^{3}.
  • Resultado esperado: uma expressão para \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} em função de t.

Passo 2

Regra da cadeia (ideia e fórmula): quando z depende de x e y e estes dependem de t, a taxa de variação de z em relação a t soma as contribuições de cada caminho (via x e via y). A fórmula é
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.
Aqui \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada de z em relação a x mantendo y constante, e \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada de z em relação a y mantendo x constante.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial x}: trate y como constante. Diferenciando termo a termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x y (produto x^2 vezes constante y).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2} (derivada de x é 1, multiplicada por y^2).
      Portanto
    \frac{\partial z}{\partial x}=2xy+y^{2}.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial y}: trate x como constante. Diferenciando:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=2xy.
      Portanto
    \frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}+2xy.

Passo 4

Calcular \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} e \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} a partir das expressões de x(t) e y(t).
  • x(t)=2+t^{2} então \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t,
pois a derivada de t^{2} é 2t e a constante 2 some.
  • y(t)=1-t^{3} então \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-3t^{2},
pois a derivada de -t^{3} é -3t^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia com as derivadas parciais e as derivadas de x,y:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=(2xy+y^{2})(2t)+(x^{2}+2xy)(-3t^{2}).
Podemos escrever de forma mais clara:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=2t(2xy+y^{2})-3t^{2}(x^{2}+2xy).

Passo 6

Substituir x=2+t^{2} e y=1-t^{3}. Para organizar, calculo primeiro algumas quantidades auxiliares.
Calcular 2x+y e x+2y (aparecem nas combinações):
2x+y=2(2+t^{2})+(1-t^{3})=5+2t^{2}-t^{3},
x+2y=(2+t^{2})+2(1-t^{3})=4+t^{2}-2t^{3}.
Agora formo A=2xy+y^{2}=y(2x+y) e B=x^{2}+2xy=x(x+2y).
  • y(2x+y)=(1-t^{3})(5+2t^{2}-t^{3}). Multiplicando termo a termo:
    A=5+2t^{2}-t^{3}-5t^{3}-2t^{5}+t^{6}=5+2t^{2}-6t^{3}-2t^{5}+t^{6}.
  • x(x+2y)=(2+t^{2})(4+t^{2}-2t^{3}). Multiplicando:
    B=8+6t^{2}-4t^{3}+t^{4}-2t^{5}.

Passo 7

Voltar para a expressão de \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} e substituir A e B:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=2tA-3t^{2}B.
Calcular 2tA:
2tA=2t(5+2t^{2}-6t^{3}-2t^{5}+t^{6})=10t+4t^{3}-12t^{4}-4t^{6}+2t^{7}.
Calcular -3t^{2}B:
-3t^{2}B=-3t^{2}(8+6t^{2}-4t^{3}+t^{4}-2t^{5})=-24t^{2}-18t^{4}+12t^{5}-3t^{6}+6t^{7}.
Somando termo a termo:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=10t-24t^{2}+4t^{3}-30t^{4}+12t^{5}-7t^{6}+8t^{7}.
É possível fatorar t em evidência se desejar:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=t\bigl(10-24t+4t^{2}-30t^{3}+12t^{4}-7t^{5}+8t^{6}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=10t-24t^{2}+4t^{3}-30t^{4}+12t^{5}-7t^{6}+8t^{7}

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