Seja sinh x=e^x-e^-x2 e cosh x=e^x+e^-x2.
f) Calcule integral tanh ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de tanh^2 x , dx. Isso faz parte do estudo das funções hiperbólicas, especificamente o cálculo de integrais envolvendo a função tangente hiperbólica. Para isso, vamos precisar lembrar como a tanh x é definida e algumas identidades relacionadas a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente hiperbólica é definida como:
tanh x = sinh xcosh x
E sabemos que sinh x = e^x - e^-x2 e cosh x = e^x + e^-x2.

Passo 3

Agora, vamos explorar uma identidade útil para tanh^2 x. Sabemos que:
Onde é a função secante hiperbólica, definida como .

Passo 4

Substituindo a identidade na integral, temos:
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1 , dx = x
E sabemos que a integral de é a tangente hiperbólica:

Passo 6

Agora, juntando as integrais:
integral tanh^2 x , dx = x - tanh x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de tanh^2 x , dx é:
x - tanh x + C

Exercícios relacionados