Seja gamma:[a, b] R^n uma curva com derivada continua em [a, b]. Definimos o comprimento L(gamma) da curva gamma por
L(gamma)=integrala^b|gamma^prime(t)| d t
Calcule o comprimento da curva dada.
(b) gamma(t)=(2 t-1, t+1), t in[1,2];

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva γ(t) = (2t−1, t+1) no intervalo [1,2], usando a definição
L(γ)=integrala^b|γ(t)|,dt
Precisamos derivar γ, obter sua norma e integrar no intervalo dado.

Passo 2

Derivando cada componente de γ(t), temos γ′(t) = (2, 1), já que d(2t−1)/dt = 2 e d(t+1)/dt = 1.

Passo 3

Calculamos a norma da derivada, que é constante:
|γ(t)| = raiz2^2 + 1^2 = raiz5

Passo 4

Como a norma é constante, o comprimento é a integral de √5 de t=1 até t=2:
L(γ) = integral1^2 raiz5,dt = raiz5,(2 - 1) = raiz5

Resposta

raiz5

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