Seja
uma curva com derivada continua em
. Definimos o comprimento
da curva
por
Calcule o comprimento da curva dada.
(b)
gamma(t)=(2 t-1, t+1), t in[1,2] ;
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva γ(t) = (2t−1, t+1) no intervalo [1,2], usando a definição
Precisamos derivar γ, obter sua norma e integrar no intervalo dado.
Passo 2
Derivando cada componente de γ(t), temos γ′(t) = (2, 1), já que d(2t−1)/dt = 2 e d(t+1)/dt = 1.
Passo 3
Calculamos a norma da derivada, que é constante:
Passo 4
Como a norma é constante, o comprimento é a integral de √5 de t=1 até t=2: