Seja
a curva descrita por:
. Verifique que
é a reta tangente à curva
no ponto correspondente a
. Em que pontos a reta tangente é:
(a) Vertical.
(b) Horizontal
(a) Vertical.
(b) Horizontal
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a curva paramétrica γ dada por x(t)=t³−3t e y(t)=t³−5t−1. O conteúdo que vamos usar é derivação paramétrica para determinar a reta tangente em um ponto e identificar tangentes verticais e horizontais.
Passo 2
Para começar, calculamos a derivada do vetor posição r(t)=(x(t),y(t)). Temos:
Passo 3
A inclinação da reta tangente é
. Para t=2, o ponto na curva é
Passo 4
A inclinação nesse ponto vale
Reorganizando:
Passo 5
Para achar tangentes verticais, impomos x’(t)=0 e y’(t)≠0:
Como y’(±1)=3\cdot1-5=-2≠0, temos de fato tangentes verticais em t=1 e t=-1. Os pontos são:
Passo 6
Para tangentes horizontais, impomos y’(t)=0 e x’(t)≠0:
Como x’(±√(5/3))=3\cdot\tfrac{5}{3}-3=2≠0, são pontos válidos. Calculando:
Resposta
(a) Tangentes verticais nos pontos (-2,-5) e (2,3).
(b) Tangentes horizontais nos pontos e
.
(b) Tangentes horizontais nos pontos