Seja gamma a curva descrita por: x=t^3-3 t, y=t^3-5 t-1, t in R. Verifique que r: 7 x-9 y=41 é a reta tangente à curva gamma no ponto correspondente a t=2. Em que pontos a reta tangente é:
(a) Vertical.
(b) Horizontal

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva paramétrica γ dada por x(t)=t³−3t e y(t)=t³−5t−1. O conteúdo que vamos usar é derivação paramétrica para determinar a reta tangente em um ponto e identificar tangentes verticais e horizontais.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada do vetor posição r(t)=(x(t),y(t)). Temos:
x'(t)=dxdt=3t^2-3, y'(t)=dydt=3t^2-5

Passo 3

A inclinação da reta tangente é dy/dx=y'(t)x'(t)=3t^2-53t^2-3. Para t=2, o ponto na curva é
x(2)=2^3-3cdot2=8-6=2, y(2)=2^3-5cdot2-1=8-10-1=-3

Passo 4

A inclinação nesse ponto vale
m=3cdot2^2-53cdot2^2-3=12-512-3=79 Logo a equação da reta tangente em P=(2,−3) fica:
y-(-3)=79(x-2)
Reorganizando:
9y+27=7x-14Longrightarrow7x-9y=41, que é justamente a reta r dada. Assim verificamos que r é a tangente em t=2.

Passo 5

Para achar tangentes verticais, impomos x’(t)=0 e y’(t)≠0:
3t^2-3=0implies t^2=1implies t=pm1
Como y’(±1)=3\cdot1-5=-2≠0, temos de fato tangentes verticais em t=1 e t=-1. Os pontos são:
t=1:;(x,y)=(-2,-5), t=-1:;(x,y)=(2,3)

Passo 6

Para tangentes horizontais, impomos y’(t)=0 e x’(t)≠0:
3t^2-5=0implies t^2=53implies t=pmraiztfrac53
Como x’(±√(5/3))=3\cdot\tfrac{5}{3}-3=2≠0, são pontos válidos. Calculando:
t=raiz5/3: x=-4raiz159,;y=-10raiz159-1,
t=-raiz5/3: x=4raiz159,;y=10raiz159-1

Resposta

(a) Tangentes verticais nos pontos (-2,-5) e (2,3).
(b) Tangentes horizontais nos pontos l(-tfrac4raiz159,-tfrac10raiz159-1r) e l(tfrac4raiz159,tfrac10raiz159-1r).

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