Prove por indução que
é divisível por 5 para todo inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução, que para todo inteiro
vale
O conteúdo utilizado aqui é o princípio de indução matemática: verificamos o caso base
e depois mostramos que, se o enunciado vale para
, então vale para
.
Passo 2
Caso base
:
Calculamos
Calculamos
Como
, concluímos que
divide
. Logo, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, já seja verdade que
Iremos mostrar que disso decorre
Observe que
Reescrevendo,
Pela hipótese de indução,
é múltiplo de
, e
também é múltiplo de
. Logo a soma dos dois termos é múltiplo de
. Assim provamos o passo indutivo.
Passo 4
Concluímos que o caso base é verdadeiro e que a verdade para
implica a verdade para
. Pelo princípio da indução, segue que para todo inteiro
temos
Resposta
Portanto, para todo inteiro
,
é divisível por
.