Prove por indução que 2^{n+2}+7^{n} é divisível por 5 para todo inteiro n \geqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução, que para todo inteiro n\ge1 vale
5 \mid \bigl(2^{n+2} + 7^n\bigr).
O conteúdo utilizado aqui é o princípio de indução matemática: verificamos o caso base n=1 e depois mostramos que, se o enunciado vale para n=k, então vale para n=k+1.

Passo 2

Caso base n=1:
Calculamos
2^{1+2} + 7^1 = 2^3 + 7 = 8 + 7 = 15.
Como 15 = 5 \cdot 3, concluímos que 5 divide 2^{1+2} + 7^1. Logo, o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum k\ge1, já seja verdade que
5 \mid \bigl(2^{k+2} + 7^k\bigr).
Iremos mostrar que disso decorre
5 \mid \bigl(2^{(k+1)+2} + 7^{\,k+1}\bigr).
Observe que
2^{(k+1)+2} + 7^{\,k+1} =2^{k+3}+7\cdot7^k =2\cdot2^{k+2}+7\cdot7^k.
Reescrevendo,
2\cdot2^{k+2}+7\cdot7^k =2\bigl(2^{k+2}+7^k\bigr)+5\cdot7^k.
Pela hipótese de indução, 2^{k+2}+7^k é múltiplo de 5, e 5\cdot7^k também é múltiplo de 5. Logo a soma dos dois termos é múltiplo de 5. Assim provamos o passo indutivo.

Passo 4

Concluímos que o caso base é verdadeiro e que a verdade para n=k implica a verdade para n=k+1. Pelo princípio da indução, segue que para todo inteiro n\ge1 temos
5 \mid \bigl(2^{n+2} + 7^n\bigr).

Resposta

Portanto, para todo inteiro n\ge1, 2^{n+2} + 7^n é divisível por 5.

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