Seja ( G, * ) um grupo. Demonstre que:
Se a, b, c in G e c * a=b, então c=b * a^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que G é um grupo com a operação * . Queremos provar que, se a, b, c são elementos de G e c * a = b , então c = b * a^-1 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, a operação do grupo, e especialmente o conceito de elemento inverso dentro de um grupo.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é um grupo: um conjunto G com uma operação binária * que satisfaz quatro propriedades fundamentais — fechamento, associatividade, elemento identidade e existência de inversos para cada elemento. Aqui, vamos focar na propriedade dos inversos.

Passo 3

Sabemos que em um grupo, para todo elemento a em G , existe um elemento inverso a^-1 tal que:
a * a^-1 = a^-1 * a = e
onde e é o elemento identidade do grupo.

Passo 4

Agora, temos a equação c * a = b . Nosso objetivo é isolar c . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de a , que chamamos de a^-1 .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por a^-1 da seguinte forma:
(c * a) * a^-1 = b * a^-1
Devido à associatividade da operação * no grupo, podemos reescrever o lado esquerdo como:
c * (a * a^-1) = c * e

Passo 6

Sabemos que qualquer elemento multiplicado pelo elemento identidade e resulta no próprio elemento. Então:
c * e = c
Portanto, nossa equação fica:
c = b * a^-1

Resposta

Assim, mostramos que c = b * a^-1 .

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