Seja (
) um grupo. Demonstre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que
é um grupo com a operação
. Queremos provar que, se
são elementos de
e
, então
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, a operação do grupo, e especialmente o conceito de elemento inverso dentro de um grupo.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é um grupo: um conjunto
com uma operação binária
que satisfaz quatro propriedades fundamentais — fechamento, associatividade, elemento identidade e existência de inversos para cada elemento. Aqui, vamos focar na propriedade dos inversos.
Passo 3
Sabemos que em um grupo, para todo elemento
em
, existe um elemento inverso
tal que:
onde
é o elemento identidade do grupo.
Passo 4
Agora, temos a equação
. Nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de
, que chamamos de
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
da seguinte forma:
Devido à associatividade da operação
no grupo, podemos reescrever o lado esquerdo como:
Passo 6
Sabemos que qualquer elemento multiplicado pelo elemento identidade
resulta no próprio elemento. Então:
Portanto, nossa equação fica:
Resposta
Assim, mostramos que
.