Seja G=S3 (grupo das permutações de 3 elementos).
a) Procure todos os subgrupos de G com suas ordens.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os subgrupos de G = S3 (o grupo de permutações de três elementos) e indicar a ordem de cada um. Vamos usar teoria de grupos finitos: em especial o Teorema de Lagrange e a identificação de subgrupos cíclicos gerados por elementos.

Passo 2

Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de qualquer subgrupo de G divide |G|. Como |G| = 6, os divisores possíveis são
1,;2,;3,;6
Portanto, os subgrupos de S3 só podem ter ordem 1, 2, 3 ou 6.

Passo 3

Subgrupos de ordem 1 e 6:
  • Ordem 1: só existe o subgrupo trivial
    e, onde e é a identidade.
  • Ordem 6: só existe o próprio grupo
    S3.

Passo 4

Subgrupos de ordem 2:
Elementos de ordem 2 em S3 são exatamente as transposições. Cada transposição gera um subgrupo cíclico de ordem 2:
lang<=(12)rang<= = e,,(12), lang<=(13)rang<= = e,,(13), lang<=(23)rang<= = e,,(23)

Passo 5

Subgrupo de ordem 3:
Elementos de ordem 3 são os 3-ciclos (123) e seu inverso (132). Ambos geram o mesmo subgrupo cíclico de ordem 3:
lang<=(123)rang<= = e,,(123),,(132)

Resposta

Ordem 1: e
Ordem 2: e,(12), e,(13), e,(23)
Ordem 3: e,(123),(132)
Ordem 6: S3

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