Seja
(grupo das permutações de 3 elementos).
a) Procure todos os subgrupos de
com suas ordens.
a) Procure todos os subgrupos de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os subgrupos de
(o grupo de permutações de três elementos) e indicar a ordem de cada um. Vamos usar teoria de grupos finitos: em especial o Teorema de Lagrange e a identificação de subgrupos cíclicos gerados por elementos.
Passo 2
Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de qualquer subgrupo de
divide
. Como
, os divisores possíveis são
Portanto, os subgrupos de
só podem ter ordem
,
,
ou
.
Passo 3
Subgrupos de ordem
e
:
- Ordem
: só existe o subgrupo trivial
, onde é a identidade. - Ordem
: só existe o próprio grupo
.
Passo 4
Subgrupos de ordem
:
Elementos de ordem em
são exatamente as transposições. Cada transposição gera um subgrupo cíclico de ordem
:
Elementos de ordem
Passo 5
Subgrupo de ordem
:
Elementos de ordem são os 3-ciclos
e seu inverso
. Ambos geram o mesmo subgrupo cíclico de ordem
:
Elementos de ordem
Resposta
Ordem 1:
Ordem 2: ,
,
Ordem 3:
Ordem 6:
Ordem 2:
Ordem 3:
Ordem 6: