Suponha que G seja um grupo finito com 60 elementos. Quais são as possíveis ordens dos subgrupos de G ?

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo finito com lvert Grvert = 60 e pede as possíveis ordens de seus subgrupos. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Lagrange, que relaciona a ordem de um subgrupo à ordem do grupo.

Passo 2

O Teorema de Lagrange afirma que, se H é um subgrupo de G, então
lvert Hrvert ,mvert, lvert Grvert
Isso significa que a ordem de H deve ser um divisor de lvert Grvert.

Passo 3

Para encontrar todos esses divisores, primeiro fatoramos 60:
60 = 2^2 times 3 times 5
Os divisores de um número dado por 2^2cdot3cdot5 são todos os produtos 2^a3^b5^c com 0<= a<=2, 0<= b<=1, 0<= c<=1.

Passo 4

Listando todas as combinações possíveis, obtemos
1,,2,,3,,4,,5,,6,,10,,12,,15,,20,,30,,60
Logo, essas são as únicas ordens que um subgrupo de G pode ter.

Resposta

As possíveis ordens dos subgrupos de G são
1,,2,,3,,4,,5,,6,,10,,12,,15,,20,,30,,60

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