Seja a in Z,
(iii) 0 <= a cdot a;

Passo 1

O enunciado pede que, dado ainZ, mostremos que
0 ;<=; acdot a
O conteúdo é a noção de ordenação em Z e as propriedades de sinal do produto.

Passo 2

Considere o caso a=0. Então
acdot a ;=; 0cdot 0 ;=; 0,
logo 0<= acdot a nesse caso.

Passo 3

Considere o caso a>0. Pelo axioma de ordenação e pela propriedade de que o produto de dois números positivos é positivo, temos
acdot a ;>; 0,
e portanto 0<= acdot a.

Passo 4

Considere o caso a<0. Então -a>0. Aplicando a mesma propriedade ao positivo -a,
(-a)cdot(-a) ;>; 0
Mas (-a)cdot(-a)=acdot a, logo acdot a>0 e, consequentemente, 0<= acdot a.

Resposta

Em todos os casos ( a=0, a>0 ou a<0) obtemos
0 ;<=; acdot a,
como queríamos demonstrar.

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