Seja I uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais N, tal que I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7, I[p(x)]=T Leftrightarrow xI<9, I[r(x)]=T Leftrightarrow xI>4, I[q(x)]=T Leftrightarrow xI=7. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo I.
(exists z)(p(x) (exists x) p(a)) vee(p(x) (forall x) p(b))

Passo 1

Temos uma interpretação I no domínio N definida por: I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7 e os predicados avaliados como p(n)=T se n<9, r(n)=T se n>4 e q(n)=T se n=7. A missão é avaliar a fórmula
$ (\exists z)\bigl(p(x) \to (\exists x)p(a)\bigr) \ \vee\ \bigl(p(x) \to (\forall x)p(b)\bigr)$

Passo 2

Primeiro avaliamos p(x). Como I[x]=7 e 7<9, temos
p(x) = T.

Passo 3

A fórmula principal é uma disjunção de duas implicações aninhadas em quantificadores. Substituindo p(x)=T, cada implicação T to φ simplifica para φ. Assim ela vira:
(exists z)(exists x)p(a) vee (forall x)p(b)

Passo 4

Agora avaliamos (exists x)p(a). O predicado p(a) é p(5), e como 5<9 vale T, existe um x que satisfaz p(a). Logo
(exists x)p(a) = T.

Passo 5

Em seguida (exists z)(exists x)p(a) é (exists z)T. Como o domínio N não é vazio, isso vale T.

Passo 6

Agora avaliamos (forall x)p(b). p(b)=p(3) e 3<9 T. Assim para todo x, p(b) é T, logo
(forall x)p(b) = T.

Passo 7

Por fim juntamos a disjunção:
T vee T = T.

Resposta

T

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