Seja I uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais N, tal que I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7, I[p(x)]=T Leftrightarrow xI<9, I[r(x)]=T Leftrightarrow xI>4, I[q(x)]=T Leftrightarrow xI=7. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo I.

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos a fórmula lógica sobre a interpretação I, cujo domínio é N e onde temos:
I[x]=7
p(n) é verdadeiro sse n<9
q(n) é verdadeiro sse n=7
A fórmula a avaliar é:
(p(x) wed>= q(x)) rightarrow (forall x)(p(x) q(x))

Passo 2

Para calcular o lado esquerdo da bicondicional, substituímos x por 7, pois I[x]=7:
p(7): 7<9 Rightarrow verdadeiro,
q(7): 7=7 Rightarrow verdadeiro
Logo,
p(7) wed>= q(7) = V wed>= V = V

Passo 3

Agora avaliamos o lado direito, (forall x)(p(x) q(x)). Isso requer que para todo ninN, se p(n) então q(n).
Mas para qualquer n<9 com nneq7 temos:
p(n) é verdadeiro (pois n<9)
q(n) é falso (pois nneq7)
Então p(n) q(n) é falso nesses casos, logo a afirmação universal falha.
Portanto,
(forall x)(p(x) q(x)) = F

Passo 4

Finalmente, a bicondicional entre os dois lados é
V rightarrow F = F

Resposta

F

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