Seja a in Z. Prove que a=0 se, e somente se, -a=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em Z com a operação de adição, que
a = 0 Long<=ftrightarrow -a = 0
Vamos usar as propriedades de grupo abeliano (identidade, inverso e unicidade do inverso).

Passo 2

Prova da implicação direta ( a=0implies -a=0).
Se ,a=0, então
-a = -0
Mas em qualquer grupo abeliano o elemento neutro é seu próprio inverso, pois
0 + 0 = 0
significa que “ 0” é o inverso de si mesmo, e pela unicidade do inverso vem
-0 = 0
Logo, de a=0 segue -a = 0.

Passo 3

Prova da implicação recíproca ( -a=0implies a=0).
Se -a=0, aplicamos o inverso aditivo em ambos os lados. Como em qualquer grupo abeliano vale
-(-a) = a,
temos
a = -(-a) = -0
E do passo anterior sabemos que -0 = 0. Portanto a=0.

Resposta

Foi demonstrado que a=0 se, e somente se, -a=0.

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