Seja
. Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em
com a operação de adição, que
Vamos usar as propriedades de grupo abeliano (identidade, inverso e unicidade do inverso).
Passo 2
Prova da implicação direta (
).
Se , então
Se
Mas em qualquer grupo abeliano o elemento neutro é seu próprio inverso, pois
significa que “
” é o inverso de si mesmo, e pela unicidade do inverso vem
Logo, de
segue
.
Passo 3
Prova da implicação recíproca (
).
Se , aplicamos o inverso aditivo em ambos os lados. Como em qualquer grupo abeliano vale
Se
temos
E do passo anterior sabemos que
. Portanto
.
Resposta
Foi demonstrado que
se, e somente se,
.