Seja A in M2(R), tal que A^2=0. Mostre que det(c I2-A)=c^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz Ain M2(R) com A^2=0, vale
detl(cI2-Ar)=c^2
O conteúdo é o polinômio característico de uma matriz 2times2 e propriedades de traço e determinante em presença de nilpotência.

Passo 2

Para qualquer matriz 2times2 B, sabemos que
detl(cI2-Br) = c^2-c,tr(B)+det(B)
Isso decorre da fórmula do polinômio característico chiB(lambda)=lambda^2-tr(B),lambda+det(B).

Passo 3

Como A^2=0, temos
  1. det(A)^2=det(A^2)=det(0)=0, logo
det(A)=0
  1. tr(A^2)=tr(0)=0. Mas também vale para 2times2
tr(A^2) =(tr(A))^2-2,det(A)
Substituindo det(A)=0 e tr(A^2)=0 vem
(tr(A))^2=0 Longrightarrow tr(A)=0

Passo 4

Substituindo tr(A)=0 e det(A)=0 na expressão
detl(cI2-Ar) = c^2-c,tr(A)+det(A)
obtemos imediatamente
detl(cI2-Ar)=c^2

Resposta

detl(cI2-Ar)=c^2

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