Seja
, tal que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz
com
, vale
O conteúdo é o polinômio característico de uma matriz
e propriedades de traço e determinante em presença de nilpotência.
Passo 2
Para qualquer matriz
, sabemos que
Isso decorre da fórmula do polinômio característico
.
Passo 3
Como
, temos
-
, logo
-
. Mas também vale para
Substituindo
e
vem
Passo 4
Substituindo
e
na expressão
obtemos imediatamente