Use determinantes para encontrar uma condição necessária e suficiente sobre a, b, c, d in R de forma que a matriz A não seja invertível.
cccc a+1 & b & c & d a & b+1 & c & d a & b & c+1 & d a & b & c & d+1

Passo 1

O enunciado pede a condição sobre a,b,c,dinR para que a matriz
A= a+1 & b & c & d a & b+1 & c & d a & b & c+1 & d a & b & c & d+1
não seja invertível. Isso equivale a achar det(A) em função de a,b,c,d e impor det(A)=0.

Passo 2

Para simplificar o cálculo, fazemos as operações de linha
Li Li - L1, i=2,3,4,
que não alteram o determinante. Obtemos
a+1 & b & c & d -1 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Vamos expandir o determinante dessa matriz por Laplace ao longo da primeira coluna. Chamando essa matriz de B, temos
det(B) =(a+1),det1&0&00&1&00&0&1 -(-1),detb&c&d0&1&00&0&1 +(-1),detb&c&d1&0&00&0&1 -(-1),detb&c&d1&0&00&1&0
Calculando cada menor:
det1&0&00&1&00&0&1=1, detb&c&d0&1&00&0&1=b,
detb&c&d1&0&00&0&1=-c, detb&c&d1&0&00&1&0=d

Passo 4

Substituindo, vem
det(A)=det(B) =(a+1)cdot1 + b + c + d =a + b + c + d + 1
Para A ser não invertível precisamos de det(A)=0, ou seja
a + b + c + d + 1 = 0 Long<=ftrightarrow a + b + c + d = -1

Resposta

A matriz A não é invertível se, e somente se,
a + b + c + d = -1

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