Seja A in M2 times 2(R).
(a) Mostre que A A d(A)=det(A) I d2, onde A d(A) é a matriz adjunta de A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para toda matriz Ain M2times2(R), vale
A,adj(A)=det(A),I2,
onde adj(A) é a matriz adjunta de A, det(A) o seu determinante e I2 a matriz identidade 2times2. Vamos usar a definição de determinante e de matriz adjunta em dimensão 2 e fazer a multiplicação.

Passo 2

Escrevemos
A=a & b[6pt]c & d
O determinante é
det(A)=ad-bc
e a matriz adjunta (ou clássica transposta) em dimensão 2 é
adj(A) =d & -b[3pt]-c & a
Agora calculamos o produto A,adj(A) por blocos de entradas:
1. Entrada (1,1):
acdot d + bcdot(-c)=ad - bc=det(A)
2. Entrada (1,2):
acdot(-b) + bcdot a = -ab+ab=0
3. Entrada (2,1):
ccdot d + dcdot(-c) = cd-cd=0
4. Entrada (2,2):
ccdot(-b) + dcdot a = -cb+da = ad - bc=det(A)
Reunindo,
A,adj(A) =det(A) & 0[3pt]0 & det(A) =det(A),I2
]

Resposta

A,adj(A)=det(A),I2

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