Seja T: U U um operador linear com dim U=n. Seja B uma base para U. Denote [T]B=A=(ai j). Suponha que ai j=0 para i<j e que ai i neq aj j para i neq j. Prove que T é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear T que mapeia um espaço vetorial U em si mesmo, onde a dimensão de U é n . Temos uma base B para U e a matriz de T nessa base, [T]B = A = (aij) , tem algumas propriedades especiais:
  • A matriz é triangular superior, ou seja, aij = 0 para i < j .
  • Os elementos da diagonal são diferentes entre si, ou seja, aii neq ajj se i neq j .
O que precisamos provar é que T é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser triangular superior. Isso quer dizer que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Em termos de matrizes, fica assim:
A = a11 & a12 & dots & a1n 0 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & dots & ann
Essa estrutura é importante porque ela facilita a identificação dos autovalores da matriz A .

Passo 3

Autovalores são valores lambda tais que existe um vetor não nulo v que satisfaz Av = lambda v . Esses lambda são encontrados resolvendo o polinômio característico de A , que é dado por det(A - lambda I) = 0 .
No caso de uma matriz triangular superior, o polinômio característico é particularmente fácil de encontrar: é simplesmente o produto das diferenças entre os elementos da diagonal e lambda . Ou seja,
det(A - lambda I) = (a11 - lambda)(a22 - lambda) dots (ann - lambda)
Portanto, os autovalores de A são exatamente os elementos da diagonal a11, a22, dots, ann .

Passo 4

Agora, como os elementos da diagonal são todos diferentes, ou seja, aii neq ajj para i neq j , isso significa que todos os autovalores de A são distintos.
Quando uma matriz tem autovalores distintos, ela possui autovetores linearmente independentes correspondentes a cada autovalor. Isso é um ponto crucial porque, se temos n autovalores distintos e n autovetores linearmente independentes, podemos formar uma base de autovetores para o espaço U .

Passo 5

Ter uma base de autovetores significa que podemos escrever a matriz A de forma diagonal em relação a essa base. Em outras palavras, existe uma base onde A age apenas escalando cada vetor por seu correspondente lambda , sem misturar os vetores.
Isso é exatamente o que significa diagonalizar uma matriz ou operador linear: encontrar uma base onde a representação da matriz é diagonal.

Resposta

Portanto, com n autovalores distintos e uma base de autovetores, concluímos que T é diagonalizável.

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