Seja um operador linear com . Seja uma base para . Denote . Suponha que para e que para . Prove que é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear que mapeia um espaço vetorial em si mesmo, onde a dimensão de é . Temos uma base para e a matriz de nessa base, , tem algumas propriedades especiais:
A matriz é triangular superior, ou seja, para .
Os elementos da diagonal são diferentes entre si, ou seja, se .
O que precisamos provar é que é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser triangular superior. Isso quer dizer que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Em termos de matrizes, fica assim:
Essa estrutura é importante porque ela facilita a identificação dos autovalores da matriz A .
Passo 3
Autovalores são valores lambda tais que existe um vetor não nulo v que satisfaz Av = lambda v . Esses lambda são encontrados resolvendo o polinômio característico de A , que é dado por det(A - lambda I) = 0 .
No caso de uma matriz triangular superior, o polinômio característico é particularmente fácil de encontrar: é simplesmente o produto das diferenças entre os elementos da diagonal e lambda . Ou seja,
Portanto, os autovalores de A são exatamente os elementos da diagonal a11, a22, dots, ann .
Passo 4
Agora, como os elementos da diagonal são todos diferentes, ou seja, aii neq ajj para i neq j , isso significa que todos os autovalores de A são distintos.
Quando uma matriz tem autovalores distintos, ela possui autovetores linearmente independentes correspondentes a cada autovalor. Isso é um ponto crucial porque, se temos n autovalores distintos e n autovetores linearmente independentes, podemos formar uma base de autovetores para o espaço U .
Passo 5
Ter uma base de autovetores significa que podemos escrever a matriz A de forma diagonal em relação a essa base. Em outras palavras, existe uma base onde A age apenas escalando cada vetor por seu correspondente lambda , sem misturar os vetores.
Isso é exatamente o que significa diagonalizar uma matriz ou operador linear: encontrar uma base onde a representação da matriz é diagonal.
Resposta
Portanto, com n autovalores distintos e uma base de autovetores, concluímos que T é diagonalizável.